三角函數証明題

錯!
例: θ1 =θ2 =..=θ7 = -3π/2, θ8 =25π/2
sinθ1+sinθ2+...+sinθ8 =8
而 nsin(2π/n)=8sin(π/4) <8
sin(θ1)+sinθ2+...+sinθ8 <= 8sin(2π/8)不成立

2011-05-17 00:35:46 補充：
那如果所有θ都少於等於2π, 大於等於0, 則不等式成立!

2011-05-17 22:25:18 補充：
設0<θ1, θ2, ..., θn < 2π, θ1+θ2+...+θn=2π
畫一個單位圓,由圓心分割圓為n個扇形,n個扇形角度分別為θ1~θn
以其中一個扇形AOB(角度θ)為例(O為圓心), 則三角形AOB面積=(1/2)sinθ
故n個扇形總面積=(1/2)[sin(θ1)+...+sin(θn)]
又同一圓內接正n邊形總面積=n*(1/2)sin(2π/n)
而圓內接n邊形以正n邊形面積為最大, 故(1/2)[sin(θ1)+...+sin(θn)] <= n*(1/2)sin(2π/n)
即sin(θ1)+...+sin(θn) <= n*sin(2π/n)

2011-05-17 22:30:51 補充：
註:以上證明應限制每個角都在0~π之間(否則(1/2)sinθ不一定為所指三角形的面積

2011-05-17 22:37:00 補充：
若有角度θ>π, 則sinθ1+sinθ2+...+sinθn可刪去負項部分,則所得面積面更小,故不等式成立.(又很顯然n=1,2時不等式必成立)
故0 <= θ1,...,θn <= 2π, 且θ1+...+θn=2π, 則sin(θ1)+...+sin(θn) <= n sin(2π/n)成立

2011-05-17 23:43:31 補充：
為什麼「圓內接n邊形以正n邊形面積為最大」?
找相鄰相同三角形AOB, BOC,設角度分別x, y (均<π) (請自行作圖)
AOB+BOC面積=( sinx+siny)/2= sin[(x+y)/2]*cos[(x-y)/2] <= 2*(1/2)sin[(x+y)/2]
即AOB+BOC面積 <= AOC二等分時的兩三角形面積和
故內接n邊形面積總和 <= 兩兩等角之n邊形面積和(即正n邊形)

2011-05-18 00:28:16 補充：
設OD平分角AOC, 則AOD+COD面積=2*AOD面積= 2*(1/2) sin[(x+y)/2]
故AOB+AOC <= 2*AOD

2011-05-18 00:39:11 補充：
設某內接非正n邊形面積最大,可設A,B,C為相鄰3頂點,且角AOB,角BOC分別為x,y為相鄰不相等兩圓心角,OD為角AOC的角平分線(角AOD=角COD= (x+y)/2 )
因 AOB+BOC面積= (sinx+siny)/2 = sin[(x+y)/2]cos[(x-y)/2] < sin[(x+y)/2]
則 AOB+BOC面積 < sin[(x+y)/2] = AOD+ COD面積
故 ABC...之n邊形面積 < ADC...之n邊形面積
與ABC..為最大內接n邊形面積的假設不合,
故內接正n邊形為所有內接n邊形面積最大者

意思是所有θ都大過等於0,少過等於90度?

2011-05-18 00:11:56 補充：
但當
n=3
θ1=135 > 90
θ2=135 > 90
θ3=90
時,
sinθ1 + sinθ2 + sinθ3 +...+sinθn <= n sin(2π/n)
不是都成立嗎?

2011-05-18 00:16:56 補充：
RE 煩惱即是菩提:

AOB+BOC面積 <= AOC二等分時的兩三角形面積和
故內接n邊形面積總和 <= 兩兩等角之n邊形面積和(即正n邊形)

小弟不明白這句

你好：

這個命題在局部範圍內是成立的。即在 0 <= θ_i <= π/2 內是成立的。

因為在這個範圍內sin函數是concave函數


圖片參考：http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/0/02/Sinus.svg/298px-Sinus.svg.png


因此若令f(x) = sinx﹐ 根據 Jensen's inequality, E[f(x)] <= f(E[X])

(sinθ1 + sinθ2 + sinθ3 +...+sinθn)/n <= sin [(θ1 + θ2 + θ3 +...+ θn)/n]

(sinθ1 + sinθ2 + sinθ3 +...+sinθn) <= n sin (2π/n)

希望幫到你﹗﹗﹗

2011-05-17 23:51:21 補充：
朋友﹐我說的是0 <= θ_i <= π/2 = 90 度耶

2011-05-18 00:07:02 補充：
YES。θ都大過等於0,少過等於90度