數學知識交流---餘數

1) 求3^1234除以8的餘數。
Sol
3^1234
=>9^617
=>(8+1)^617
=>1^617
=>1

2)7^x除以9的餘數是4，求證 3｜(x+1)
Sol
(1) x=3w，w 為整數
7^x=(7^3)^w=(343)^w=(342+1)^w=(38*9+1)^w
餘數是1(不合)
(2) x=3w+1，w 為整數
7^x=[(7^3)^w]*7=[(343)^w]*3=[(342+1)^w]*7=[(38*9+1)^w]*7
餘數是7(不合)
(3) x=3w+2，w 為整數
7^x=[(7^3)^w]*49=[(343)^w]*49=[(342+1)^w]*(45+4)=[(38*9+1)^w]*(45+4)
餘數是4
So
x=3w+2
x+1=3(w+1)
So
3｜(x+1)

3)M是質數，除3餘1、除5餘2、除7餘3、除9 餘4，求M的最少值。
Sol
除9 餘4 =>除3餘1
M=a[5，7，9]+b[5，7]+ 5c +2= 315a +35b+ 5c +2
When c= 3
M= 315a +35b+17
When b= 4
M= 315a +157
When a= 0
M=157

我覺得應該是"求M的最小值"。

(1) 餘數是1

(3) M的最少值是157