甲乙猜拳10次，猜贏次數多者勝，求甲勝的機率?

甲乙猜剪刀石頭布拳，約定猜10次，猜贏次數多者勝，求甲勝的機率。
Sol
(1) 甲0勝，乙0勝，平手10次
P1=(1/3)^10
(2) 甲1勝，乙1勝，平手8次
P2=10!/(1!1!8!)*(1/3)^10=90*(1/3)^10
(3) 甲2勝，乙2勝，平手6次
P3=10!/(2!2!6!)*(1/3)^10=1260*(1/3)^10
(4) 甲3勝，乙3勝，平手4次
P4=10!/(3!3!4!)*(1/3)^10=4200*(1/3)^10
(5) 甲4勝，乙4勝，平手2次
P5=10!/(4!4!2!)*(1/3)^10=3150*(1/3)^10
(6) 甲5勝，乙5勝，平手0次
P6=10!/(5!5!)*(1/3)^10=252*(1/3)^10
P1+P2+P3+P4+P5+P6
=8953*(1/3)^10
[1－8953*(1/3)^10]/2=25048/59049

勝-和-敗 這三者永遠加起來只有10

(10+1)X10X(3-2)=66

2011-05-14 10:17:07 補充：
甲勝的組合：
1-9-0

2-8-0
2-7-1

3-7-0
3-6-1
3-5-2

4-6-0
4-5-1
4-4-2
4-3-3

2011-05-14 10:19:13 補充：
5-5-0
5-4-1
5-3-2
5-2-3
5-1-4

6-4-0
6-3-1
6-2-2
6-1-3
6-0-4

7-3-0
7-2-1
7-1-2
7-0-3

2011-05-14 10:19:47 補充：
8-2-0
8-1-1
8-2-0

9-1-0
9-0-1

10-0-0

2011-05-14 10:21:13 補充：
甲和乙平手情況：
0-10-0
1-8-1
2-6-2
4-2-4
5-0-5

那麼如果猜3次的話呢
甲要贏
3勝：1種(勝勝勝)
2勝1平： 3種(勝勝平) (勝平勝) (平勝勝)
2勝1負：3種(勝勝負) (勝負勝) (負勝勝)
1勝2平：3種(勝平平) (平勝平) (平平勝)
全部共：3^3=27
所以機率是 10/27

2011-05-12 17:44:57 補充：
我覺得這個問題的癥結在於
勝 = 負 時，會製造出 [平手] 的情況

我一開始也是直覺1/3
但是繼續算就會發覺有問題。

沒錯
記憶中猜拳的問題機率都是一樣的
也就是說猜拳比賽無論比幾次
"猜贏猜輸"或"猜贏猜輸平手"(前者一定要論勝負、後者可以有平手)
機率都一樣
前者機率各1/2
後者機率各1/3
你問我為什麼??
我可以告訴你
猜拳本身就是公平的
所以機率一定一樣
用統計去解釋機率
你就發現答案真的一樣

2011-05-12 17:37:56 補充：
第一次猜 贏1/3 平1/3 輸1/3
第二次也一樣
所以統計前兩次
甲要贏
必須 贏平 贏贏 平贏 機率各為(1/3)*(1/3) = 1/9
所以(1/9)* 3 =1/3 猜兩次贏的機率
猜兩次和的機率為 先贏後輸 先平後平 先輸後贏 一樣是1/9+1/9+1/9 = 1/3
所以輸機率也是1/3
所以根據統計
猜一次 猜兩次 "贏平輸"機率都是1/3
所以猜三次 猜四次 也是一樣
如果你題目改成"猜十次，每次一定要論輸贏才算一次"
這樣的話答案就不是1/3

2011-05-12 18:09:10 補充：
承上
若每次一定要論輸贏才算一次
那猜十次
贏的機率 341/1024
平的機率 342/1024
輸的機率 341/1024

2011-05-12 18:19:01 補充：
月下
你的說法沒錯
所以這是組合式機率
答案不是1/3

2011-05-12 18:30:44 補充：
先算平手機率
10平 1/3^10 = 1/59049
8平勝負各一 C(10,8)*C(2,1)*C(1,1) = 90/59049
6平勝負各二 C(10,6)*C(4,2)*C(2,2) = 1260/59049
4平勝負各三 C(10,4)*C(6,3)*C(3,3) = 4200/59049
2平勝負各四 C(10,2)*C(8,4)*C(4,4) = 3150/59049
勝負各五 C(10,5)*C(5,5) = 252/59049

2011-05-12 18:32:33 補充：
so standoff is (1+90+1260+4200+3150+252)/59049 = 8953/59049
贏和輸的機率各(1-8953/59049)/2 = 25048/59049
如有錯我也沒辦法
畢竟學機率是20年前的事
20年沒碰機率啦
請見諒

2011-05-13 11:45:01 補充：
回復樓上的田中
每次一定論輸贏才算一次時
猜奇數次(猜1,3,5,7...次) 勝負機率各半不會平手
猜偶次數(猜2,4,6...次) 平手的機率會比勝或負多出1/(2^n)
猜2次勝或負為 1/4 平手 2/4
猜4次勝或負為 5/16 平手 6/16
不信你可以自己試看看
這應該可以用數學歸納法去證明
就說我很久沒碰數學
所以懶得去證明

2011-05-13 11:59:15 補充：
田中說對了
在此更正
分勝負才論一次的話

公式應該如下
設猜n次 n為偶數
so standoff is C(n,n/2)
win or lose is C(n,1)+C(n,2)+C(n,3)+...+C(n,(n/2)-1)
so if n=10
the probbility of win or lose is 386/1026
standoff is 252/1024

平手當然算一次啊！
是"猜拳"10次，不是"分出輸贏"10次
而且，我不是特別在括號裡寫那句話了嗎?

2011-05-12 19:59:03 補充：
若每次一定要論輸贏才算一次
那猜十次
贏的機率 341/1024
平的機率 342/1024
輸的機率 341/1024

就算每次一定要論輸贏才算一次，這還是錯的ㄚ
平的機率會比勝或負都還低才對

2011-05-14 10:10:19 補充：
實幹就對了，其餘都是廢話！大：
機率確實不是1/3，可是您還是算錯了
分母遠不止66，分子也遠不止30

事實上分子是25048，分母是59049，機率約0.4242
依然謝謝您撥冗回答！如果您在乎採用率的話，請把握時間！

這個問題, 我很直覺的認為....... 就是 1/3

平手算不算一次?
所以是不論是否分出勝負 都算是猜了一次吧

30吧，小學畢業之後就再也沒破過機率了。