~全體質數倒數和~

注意到 Σ 1/n = Π (1/1 - p^(-1))

ln Σ 1/n

= ln Π (1/1 - p^(-1))

= Σ ln (1/1 - p^(-1))

= - Σ ln (1 - 1/p)

= Σ (1/p + 1/2p^2 + 1/3p^3 ... + )

= Σ 1/p + Σ 1/p^2(1/2 + 1/3p + ...)

< Σ 1/p + Σ 1/p^2(1 + 1/p + 1/p^2 ...)

= Σ 1/p + Σ 1/[p(p - 1)]

= Σ 1/p + C

考慮Σ 1/[n(n - 1)] = 1 - 1/n => C < 1, 配合 Σ 1/n = ∞ (n -> ∞)

=> 全體質數的倒數和是發散的。

若果全體質數是有限的﹐則Σ 1/p 也是有限的﹐與已證得的結果矛盾﹐因此質數的數目是無限的。