設實係數四次多項式其領導係數為1，如果F（1）=－

顯然f(x)=－x^2會同時滿足f(1)=－1、f(－2)=－4、f(3)=－9、f(－4)=－16
但題目說f(x)是四次多項式，所以次數不夠
那麼便令f(x)=－x^2+a(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)
又因領導係數為1，所以a=1
所以f(x)=－x^2+(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)
f(2)=－4+1*4*(－1)*6=－28

請問克大師:
此題你怎麼想到f(x)=-x^2都滿足式子

若為f(-1)=1,f(2)=-8,f(-3)=27,f(4)=-64,其他條件同
它的關係式可否為
f(x)=-x^3+a(x+1)(x-2)(x+3)(x-4)

設F(x)為實係數四次多項式其領導係數為1，如果F(1)=－1、F(－2)=－4、
F(3)=－9、F(－4)=－16 求F(2)的值？
Sol
設 F(x)=(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)+a(x－1)(x+2)(x－3)+b(x－1)(x+2)+c(x－1)－1
F(－2)=c(－2－1)－1=－4
c= 1
F (x)=(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)+a(x－1)(x+2)(x－3)+b(x－1)(x+2)+(x－1)－1
=(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)+a(x－1)(x+2)(x－3)+b(x－1)(x+2)+x－2
F(3)=b(3－1)(3+2)+3－2=－9
b=－1
F(x)=(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)+a(x－1)(x+2)(x－3)－(x－1)(x+2)+x－2
=(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)+a(x－1)(x+2)(x－3)－(x－1)(x+2)+x－2
=(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)+a(x－1)(x+2)(x－3)－(x^2+x－2)+x－2
=(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)+a(x－1)(x+2)(x－3)－x^ 2
F (－4)=a(－4－1)(－4+2)(－4－3)－16=－16
a= 0
F (x)=(x－1)(x+2)(x－3)(x+4)－x^ 2
F(2)=1*4*(－1)*6-4=-28

設f(x)為實係數四次多項式為x^4+ax^3+bx^2+cx+d
==>f(1)=1+a+b+c+d=-1
f(-2)=16-8a+4b-2c+d=-4
f(3)=81+27a+9b+3c+d=-9
f(-4)=256-64a+16b-4c+d=-16

==>a=2 ,b=-14,c=-14,d=24

f(x)=x^4+2x^3-14x^2-14x+24
==>f(2)=16+16-56-28+24=-28