高2下排列組合4題 20點

1.從"series"一字中的6個字母中，任意選取4個排成一列，請問共有幾種排法?
Sol
(1) 0個s =>erie
4!/(2!1!1!)=12---------------------------------

(2) 1個s =>serie
(21) 1個e =>seri
4!/(1!1!1!1!)=24------------------------------
(22) 2個e =>sereor seie
2*4!/(1!2!1!1!)=24---------------------------

(3) 2個s =>series
(31) 0個e =>sris
4!/(1!2!1!1!)=12------------------------------
(32) 1個e =>seris=>seis or sers2*4!/(2!1!1!1!)=24---------------------------
(33) 2個e =>sees4!/(2!2!)=6------------------------------------
12+24+24+12+24+6=102

2. 從一列有10節不同車廂的火車中，選出3節車廂提供餐飲服務
若要求3節餐飲服務車廂至少包括首或尾其中一節車廂，則有幾種選法?
Sol
(1) 1首0尾或０首１尾
2*C(8，2)=2*28=56-─────
(2) 1首１尾
C(8，1)=8---------------------------
56+8=64

3.方程式x+y+z<=10有多少組非負整數解?
Sol
(1) x=0 =>y+z<=10=>(11+10+9+…+1)
(2) x=1 =>y+z<=9 =>(10+9+8+…+1)
…
N=Σ(k=1 to 11)_[Σ(m=1to k)_m(m+1)/2]
=(1/2)Σ(k=1to 11)_m^2+(1/2)Σ(k=1 to 11)_m
=(1/2)*11*12*23/6+(1/2)*11*12/2
=253+33
=286

4. 桌球比賽中，若規定參予的選手每人都必須和其他選手各比賽一場，賽程
共計66場，則選手有幾人?
Sol
x*(x－1)/2=66
x^2－x=132
x^2－x-－32=0
(x－12)(x+11)=0
x=12 or x=－11(不合)




2011-05-08 23:24:24 補充：
匿名大大作法
3.方程式x+y+z≦10有多少組非負整數解?
Sol
x+y+z<=10
x+y+z+u=10
H(4，10)=C(4+10－1，10)=286組

1.從"series"一字中的6個字母中，任意選取4個排成一列，請問公有幾種排法?
ans:102

series這個單字中有兩個s跟e，有一個r跟i
可以分成下列幾種來討論: (符號代表任一英文字母)

(1)OOXX
有C2^2=1種組合
每種組合有4!/(2!2!)=6種排法
1*6=6

(2)OOX#
有C2^1 * C3^2=6種取法
每種組合有4!/(2!)=12種排法
6*12=72

(3)OX#&
有C4^4=1種組合
每種組合有4!=24種排法
1*24=24

(1)+(2)+(3)=6+72+24=102

2.從一列有10節不同車廂的火車中，選出3節車廂提供餐飲服務
若要求3節餐飲服務車廂至少包括首或尾其中一節車廂，則有幾種選法?
ans:64

算法:
首提供(剩下九節選兩節)+尾提供(剩下九節選兩節)-首跟尾都有提供(剩下八節選一節)
C9^2+C9^2-C8^1
=36+36-8

因為在算首提供跟尾提供的時候都各有一遍是首跟尾都有提供的，所以後面要扣掉一次首跟尾都有提供

3.方程式x+y+z≦10有多少組非負整數解?
ans:286

假設我再給他一個未知數h(h為非負整數)，讓他的方程式變成x+y+z+h=10
題目看起來就像
有10個相同物品，分給4個不同的人
H4^10
=C13^10
=286

4.桌球比賽中，若規定參予的選手每人都必須和其他選手各比賽一場，賽程共計66場，則選手有幾人?
ans:12

一場比賽要有2個人
所以從n個選手裡面任選出2個人

Cn^2=66
→n!／2!(n-2)!=66 → 兩邊乘2
→n!／(n-2)!=132 → 化簡
→n(n-1)=132
→(n+11)(n-12)=0
n=12 或 -11(不合)

1.從"series"一字中的6個字母中，任意選取4個排成一列，請問公有幾種排法?
ans:102
why?
Sol
2個s，2個e，r、i各一個
四異
C(4，4)*4!=24
兩同兩同
C(2，2)*4!/(2!)(2!)=6
兩同兩異
C(2，1)*C*(3，1)*4!/(2!)=72
72+24+6=102種