重積分與曲面積分 - Ans.fyi 參考答案

重積分與曲面積分

0753AVS

2011-05-06 5:15 am

1) 設A是一三角錐，其頂點為(0,0,0) , (1,0,0) , (0,1,0) 及 (0,0,1)。
求∫∫∫[A] xyz(1-x-y-z) dxdydz。

2) 設E={(x,y)| 1<= |x| + |y| <=2 } ，
z = f(x, y) = (x^2 +y^2)^(1/2) 為定義在E上的曲面，求此曲面的面積。

回答 (1)

mathmanliu

2011-05-11 9:31 am

✔ 最佳答案

Q1. 1/24
Q2. (7/3)√2

2011-05-07 13:33:50 補充：
Sorry! 沒算到xyz項, Q1: 1/7!= 1/5040

2011-05-11 01:31:18 補充：
1.
原積分=∫[0~1]∫[0~1-x]∫[0~1-x-y] xyz(1-x-y) dz dy dx
=∫[0~1]∫[0~1-x] xy(1-x-y)^3 /3! dy dx
=∫[0~1] x(1-x)^5/5! dx
= 1/7! = 1/5040

2.
r=(x,y, √(x^2+y^2) )
∂r/∂x= (1, 0, x/√(x^2+y^2) )
∂r/∂y= (0, 1, y/√(x^2+y^2) )
dA=|(∂r/∂x) x (∂r/∂y) | dxdy=√2 dx dy
故曲面面積=∫∫_D √2 dx dy : D: 1 <= |x|+|y| <= 2
變數代換 (x, y) = ( r (cost)^2, r (sint)^2 ), Jacobian=r sin(2t)
則曲面面積=4∫[0~π/2] ∫[1~2] √2 * r sin(2t) dr dt
= 4∫[0~π/2] √2*(3/2) sin(2t) dt
= 6√2

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