一題數學(sigma 1/x^4)=?

這題需要用到比較深的技巧
用到的是複變裡的算留數(Residue)的技巧
(留數是令分母為0的負一次項的係數,即1/z)
a0/(z-a):我們說是在a那一點的留數是a0
這是為了要算沿著一個包含會使分母為0的點的封閉曲線的積分
原式=-1/2Res(πcotπz/z^4,0)=-1/2*-π^4/45=π^4/90
(運用sinz,cosz的泰勒展開式算出cotz的Laurent series(即有負項的級數,指的是會令分母為0的項,例如;1/z,1/z^2,...),
(z-z^3/3!+z^5/5!-z^7/7!+......)(bo/z+b1z+b2z^3+...)=(1-z^2/2!+z^4/4!-...)
b0=1,b1=-1/3,b2=-1/45
因此πcotπz/z^4=π(1/πz-πz/3-(πz)^3/45-...)/z^4)



2011-05-06 20:41:00 補充：
你用的方法比我用的留數方法還要難呢

2011-05-06 20:46:20 補充：
樓上的兩位
題目裡的項是1/x^4,不是1/4^x
這兩項差很遠

2011-05-07 21:12:09 補充：
用我的方法比較簡單
不過要說明到讓你了解比較難
要知道e^ix=cosc+isinx才能繼續討論

2011-05-07 22:19:46 補充：
令f(z)=1/z^4(把級數裡的項的變數換成z)
乘上一個函數g(z)=πcotπz
在0的那一點留數是1
...因為再說明會非常複雜,而且又需要選一個封閉曲線說明

2011-05-08 20:44:42 補充：
取g(z)=1/z
留數也是1
但乘上1/z^4,留數就變成0
而πcotπz=πcosπz/sinπz
cosz,sinz的泰勒展開式對所有的z都對
而且都是無限項
因此可以算出cotz的Laurent series(有1/z,1/z^2...等負項的級數)
Res(cotz;0)=cosz/(sinz)'=1
把g(z)=cotz帶回原式會比1小就不合
因此選擇g(z)=πcotπz
他在0那一點的留數也是1

我一個方法都不會
還在研讀中....
(尤拉, 傅利葉, Parseval,...)

2011-05-07 21:52:49 補充：
e^ix=cosx+isinx 這我知道....工數.電磁.常用
......
之前練習複變相關章節已是xx年以前的事了
和我的高中麻吉(清大數學系畢)考研究所時研究的
當時他還教了我一些複變常用公式,....
久沒用, 只記得留數這個名詞~有聽過...
需要您的詳細解釋...謝謝~

2011-05-07 22:30:02 補充：
g(z)這個函數是如何選擇的?
或說. 如何知道要取πcotπz?
可有選擇之法?

2011-05-09 12:22:42 補充：
to 半包菸:
數學是我的工具,
只要會算,
數學定理不用證明, (寫出定理, 或公式名稱, 先列出標準公式)
告訴我複習的小節就好,
感謝!!

2011-05-12 00:00:36 補充：
謝謝半包菸的算式分享
我已經印下來了,
萬分感謝: )

2011-05-12 00:11:19 補充：
查O'neil工程數學書看到了皮卡丘所用的公式
也看到了半包菸所用的迴路方法
雖然幾天之內還無法完全消化
不過已經有了方向了
詳細的過程還要我這笨頭腦再動一動才成,
哈哈哈...
還是再說一次;
感謝翔太--提供的資料很棒, 也據此可以求出1/x^4
謝謝皮卡丘, 半包菸的指導
獲益良多,謝謝了!!

2011-05-14 12:56:39 補充：
用翔太提供的資料算出來了
花了一些腦細胞...hahaha...
詳見:http://tw.myblog.yahoo.com/msher-eigenstates

我想你應該是高一吧
也學過極限跟等比級數
所以你應該學過這個公式了吧
Sn(我不知道是不是Sn反正就叫他級數和)

= a0 ( 1 - r^n ) / ( 1-r )

但當它是無窮等比級數時就變成

limit a0 ( 1 - r^n ) / ( 1-r )

其中趨近於0
所以就變成

a0/(1-r)

a0 是首項 r是公比

把數據帶進去
1/(1-1/4)
=4/3

利用傅立葉級數對f(x) = x^2展開，週期選2pi
再利用Parseval's Thm.可得

2011-05-04 20:31:15 補充：
可得(pi)^4 / 90 ... ...

2011-05-09 10:59:15 補充：
msher 大

你是想要全部都懂呢(包含相關的數學證明) ? ... ... (1)

還是只想要會算就好(知道根據什麼定理) ? ... ... (2)

如果是(1)，我告訴你該複習的小節就好；

如果是(2)，我在幫你證證看。

皮卡丘真強！

2011-05-09 19:01:24 補充：
修正|z1 - z2| >= |z1| - |z2|

2011-05-11 19:21:17 補充：
msher你看完了嗎?

我要刪了，畢竟是以別人的想法為基石 ... ...

也許這篇你細心地閱讀過就會寫了

如果還是不知道怎麼算

那麼之後再PO吧

數學還是要自己想比較好

http://episte.math.ntu.edu.tw/articles/mm/mm_02_3_09/index.html


2011-05-04 22:48:29 補充：
北極熊大大你是不是看錯了...

2011-05-12 04:45:56 補充：
我沒看錯= =

嚴謹的證法我還需要再摸索

3Q 皮卡丘大

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