數學知識交流(22)---五邊形問題

我們來證明當 K 是 AD 中點時命題成立。
證明分兩部分 :
先證ㄥBKA 及 ㄥCKD 均小於直角 :考慮 △ ACD , 最長對角線 AD ≥ AC ,
故ㄥACD ≥ ㄥADC
有ㄥACD + ㄥACB > ㄥADC - ㄥADB
即ㄥBCD > ㄥCDB
得 BD > BC=AB令 AB 中點為 M ,
則 MK = BD/2 > AB/2 ,
故 ㄥBKA < 90°
同理 ,
ㄥCKD < 90°
再證 ㄥBKC 小於直角 : 考慮等腰 △AED ,
EA + ED = 2EA > AD
即 EA > AD/2
即 AB > AK
故 ㄥBKA > ㄥABK .....(1)
同理,
ㄥCKD > ㄥDCK .....(2)
圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/HA04628698/o/701105020086013873433450.jpg
另一方面 ,
已證ㄥACD ≥ ㄥADC
顯然ㄥBCD > ㄥADC .....(3)
同理,
ㄥABC > ㄥBAD .....(4)

(3) + (4) :
ㄥBCD + ㄥABC > ㄥADC + ㄥBAD
ㄥBCD + ㄥABC + ㄥBCD + ㄥABC > ㄥADC + ㄥBAD + ㄥBCD + ㄥABC
2(ㄥBCD + ㄥABC) > 360°
ㄥBCD + ㄥABC > 180°
(ㄥDCK + ㄥKCB) + (ㄥABK + ㄥKBC) > 180°
ㄥDCK + ㄥABK + ㄥKCB + ㄥKBC > 180°
ㄥDCK + ㄥABK + 180° - ㄥBKC > 180°
(ㄥDCK + ㄥABK) - ㄥBKC > 0°由 (1) , (2) 得 :
(ㄥCKD + ㄥBKA) - ㄥBKC > 0°
(180° - ㄥBKC) - ㄥBKC > 0°
ㄥBKC < 90°證畢。