機率問題---伯努利試驗和其他的機率問題

1. 假設每個人答對機率都一樣, 而且每個人答對答錯是相互獨立的,
因此, 答對人數 X 服從二項分布. 所以
P[X=k] = C(46,k)(0.68)^k(0.32)^{46-k}, k=0,1,...,46. 要求 k 使 P[X=k] 最大.
P[X=k+1]/P[X=k] = [C(46,k+1)/C(46,k)](0.68/0.32)
= [(46-k)/(k+1)](0.68/0.32)
P[X=k+1]<P[X=k] <==> 0.68(46-k)<0.32(k+1)
<==> 0.68*46-0.32<0.68k+0.32k=k
<==> 30.96 < k
因此, k 在 30 以下時 P[X=k+1]>P[X=k];
k > 30 時 P[X=k+1]<P[X=k]
當 k=31 時 P[X=k] 最大.
2.
第1次反面而第4次停止, 也就是出現結果是 "反正正正".
此結果之機率為 (2/3)(1/3)^3 = 2/81.
不過, 如果這是所要的答案, 那麼問題的描述是不適當的!
應該設定:
b 是第一次結果是反面, 而且恰好在第4次時停止的機率.
類似地, c 之設定應修正為
c 是第1,2次皆正面, 而且恰好第5次時停止的機率.若就原措辭, 有點像在問條件機率, 所以你的計算其實沒錯!
因為你計算的就是條件機率. 不過, 基於每次投擲結果獨立,
你的計算可以更簡單:
b = 連續3次都是正面的機率 = (1/3)^3 = 1/27
c = 連續3次都反面的機率 = (2/3)^3 = 8/27.


3.
1) P(恰好得10元) = P(甲玩法)P(恰好得10元|甲玩法)
+ P(乙玩法)P(恰好得10元|乙玩法)
= (1/3)C(10,5)p^5(1-p)^5 + (2/3)P(恰好得10元|乙玩法)
乙玩法的敘述意義我不確定, 是否如果出現 k 個正面, 則獎金是
1+2+...+k? 如果是, 那麼
P(恰好得10元|乙玩法) = P(4次正面) = C(5,4)p^4(1-p)故
P(恰好得10元) = (1/3)(252)p^5(1-p)^5+(2/3)(5)p^4(1-p)
= (2/3)[126p^5(1-p)^5+5p^4(1-p)]
= (2/3)p^4(1-p)[126p(1-p)^4+5]
與答案差了一個 1-p, 是答案錯或我的理解錯?
2) 甲玩法獎金數期望值 2*10p = 20p.
乙玩法(依上述猜測), 期望值為
E[(1+...+X)] = E[X(X+1)/2] = 10p^2+5p < 15p (when p<1).
以期望值來看, 甲玩法較有利.
3) (1/3)*(甲玩法獎金數期望值)+(2/3)*(乙玩法獎金數期望值)
= (1/3)*20p + (2/3)*(10p^2+5p) = 10p+20p^2/3.

2011-04-26 23:51:48 補充：
10p+20p^2/3 = 10p(1+2p/3) = 10p(3+2p)/3.

2011-04-27 19:08:10 補充：
為甚麼要P[X=k+1]/P[X=k]?

要找 P[X=k] 的最大值, 因 k 只能是 0,1,...,n, 因此用前後項比值
來看 P[X=k] 的變化. 最後得:
k 在 30 以下時 P[X=k+1] 大於 P[X=k], 也就是增加 k 使 P[X=k] 增大;
k 大於 30 時 P[X=k+1] 小於 P[X=k], 也就是此時增加 k 反使 P[X=k] 變小.
因此得知 P[X=31] 是最大值.

2011-04-27 19:11:04 補充：
"出現第K個正面得獎金K元" 的意思, 從後面的計算結果來看, 我
認為我的解讀是對的. 就是第1次出現正面得1元, 第2次正面再得2元,
以此類推, 因此可能獎金是 0,1,3,6,10,15元.

2011-04-30 15:04:13 補充：
第3題的2
甲玩法獎金數期望值 2*10p = 20p
這怎麼來的???


10次, 期望正面數=10p,
每出現一次正面得2元,
故: 期望值 = 2*10p = 20p.

第二題我覺得你算的沒錯,
以題目給的答案來看,
他題目的意思好像不是條件機率,
但這樣的話,那就是題目的敍述有問題.