角度正切值的期望值

假設線段長L，P點距離其一端點為隨機變數X
首先寫出X的機率分布函數f(x)
假設為一至性分布，則P(a<X<b)=(b-a)/L=∫(a->b) f(x) dx對所有0<a<b<L
因此f(x)={1/L, 0<x<L; 0, elsewhere}
接著寫出X=x時的角度正切值g(x)
g(x)={x/(L-x), 0<x<=L/2; (L-x)/x, L/2<x<L; 0, elsewhere}
題目所求即g(x)的期望值E[g(x)]
E[g(x)]=∫(-∞->∞) g(m)*f(x) dx
=∫(0->L/2) x/L(L-x) dx+S(L/2->L) (L-x)/Lx dx
=[∫(0->L/2) x/(L-x) dx+∫(L/2->L) (L-x)/x dx]/L
=2ln(2)-1
=約0.3863
因此，角度的期望值約21.121度
希望如上回答對您有幫助!


2011-04-24 11:18:09 補充：
P點把線段切成0~x和x~L兩段，分別長x, L-x

所以所求角度tan值不是x/(L-x)就是(L-x)/x

而且要小角，因此以x=L/2劃分

x/(L-x)較小，當x=0~L/2；(L-x)/x較小，當x=L/2~L

有圖嗎?
題意有點看不太懂。

我已經自己先寫過了阿.....

只是我的計算方法太麻煩了無法打出來而已

我可以寫出我的最後算式是這樣：

[-10*ln(2)/9 + 2/3 + ln(3)/9] + [4/9 - 2*ln(3)/9] = 0.218879545

2011-04-24 00:34:52 補充：
(補充一直被cut掉)

請問 g(x)={x/(L-x), 0<=L/2; (L-x)/x, L/2

2011-04-24 00:35:30 補充：
.......請問 g(x) 是怎麼推導出來的呢?

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