一題微積分

f(x)= a - bx - logx - cx^d exp( - hx)
b, c, d, h 任意正數

問的是
g(x) = bx+log(x)+cx^d e^{-hx} = a
的實數解個數.


因有 log(x) 存在, 僅限於 x>0.

顯然 x→0+ 時 g(x)→-∞, 而 x→∞ 時 g(x)→+∞, 因此 g(x) = a 一定有解.

x^d e^{-hx} 是由 0 上升至 x=d/h 時最高點, 再下降至趨近 0.
因此在 x<d/h 時 g(x) 是上升的, 問題在 x>d/h 時 g(x) 是否下降?


g'(x) = b +1/x +cx^d(d/x-h)e^{-hx}
= (b+1/x)-(h-d/x)(cx^d e^{-hx})
當 x=d/h 時, g'(x)=b+h/d>0;
當 x→∞ 時, g'(x)→b>0

考慮 g'(x) 中的 (h-d/x)(cx^d e^{-hx}),
這在 [d/h,∞) 又是一個先升後降的函數, 其最高點在 x=(d+√d)/h.
若在此處 g'(x)>0, 則 g'(x) 恆正;
若在此處 g'(x)=0, 則此為 g'(x)=0 之唯一解, 因此 g(x) 仍是上升的.
若在此處 g'(x)<0, 則 g'(x)=0 有二解, 表示 g(x) 在某個區段內是下降的,
因而對某些 a 值, g(x)=a 會有三個實根.


g'((d+√d)/h) = b+h/(d+√d) - ch√d/(d+√d)[(d+√d)/h]^d exp{-(d+√d)}
= b+h/(d+√d) - c√d[(d+√d)/h]^{d-1} exp{-(d+√d)}
對不同 b,c,d,h, 是有可能為負.

因此,
(1) 原方程式 g(x)=a 至少一正根;
(2) 若 △=b+h/(d+√d) - c√d[(d+√d)/h]^{d-1} exp{-(d+√d)} < 0,
則對某些 a 值, g(x) = a 有三正根.
使 g(x)=a 有三正根的 a 值介於 g'(x)=0 的兩根對應的 g(x) 值之間.
(3) 若 △<0 且 g'(x)=0 的兩根為 A, B, 則 a=g(A) 或 g(B) 時, g(x)=a
有二正根.

為了維護知識交流的精神，避免侵害他人智慧財產權，即日起（2006/03/08）將嚴格禁止以下的發表內容：
2. 要求代作作業。 代作作業違反了知識交流的精神，因此您的發表內容將會被移除，若屢次移除無效，將會予以扣點或停權。
建議網友發問與課業相關的問題時，先做好初步的研究，再針對不瞭解的部分尋求網友協助，而不是一味要求網友代勞。也建議網友斟酌回答類似的問題，以免因問題違規而被移除，降低了採用率。
如：
a. 請幫我寫一篇作文，題目是○○○○，500 字
b. 大大，幫幫我的家庭作業，我不會
c. 請幫我造句「因為…所以…」
d. 成語填空題，還有選擇題，很難喔。
e. 請幫我裡面的數學題…