數學問題證明點寫

Let the number is 10^n*a(n)+10^(n-1)*a(n-1)+...+10*a(2)+a(1).
10^n mod 3 = 1----------(1)
So,
10^n*a(n) mod 3
=1*a(n) mod 3
=a(n)mod 3

If 10^n*a(n)+...+a(1) mod 3 = 0,
a(n)+...+a(1) mod 3 = 0.

Proof of (1):(induction)
Let P(n) be 10^n mod 3 = 1
P(1): 10 mod 3 = 1 TRUE
Let P(k) is true,P(k+1):
10^(k+1) mod 3
=10^k*10 mod 3
=1*10 mod 3
=1
Proof of (1) end.

Proof end.

2011-04-13 21:18:23 補充：
中文版：
設那數是10^n*a(n)+10^(n-1)*a(n-1)+...+10*a(2)+a(1)。
由於：
10^n mod 3 = 1----------(1)
所以：
10^n*a(n) mod 3
=1*a(n) mod 3
=a(n)mod 3

所以，如果：
10^n*a(n)+...+a(1) mod 3 = 0，
a(n)+...+a(1) mod 3 = 0。

2011-04-13 21:18:31 補充：
(1)的證明:(用數學歸納法)
設P(n)是：10^n mod 3 = 1
P(1): 10 mod 3 = 1 成立
設P(k)成立,P(k+1)：
10^(k+1) mod 3
=10^k*10 mod 3
=1*10 mod 3
=1

Eg1:

五位數 abcde 能被 3 整除,

abcde可分拆為 10000a + 1000b + 100c + 10d + 1e , 知 9999a , 999b , 99c ,
9d能被 3 整除,

即 1a + 1b + 1c + 1d + 1e能被 3 整除,

那就能證明五位數的數位之和能被 3 整除 , 那數就能被 3 整除 .

再多一個例子吧 !

Eg2 : 九位數 abcdefghi 能被 3 整除,

abcdefghi 可分拆為 100000000a + 10000000b + 1000000c + 100000d +
10000e + 1000f + 100g + 10h + 1i , 知 99999999a , 9999999b , 999999c ,
99999d , 9999e , 999f , 99g , 9h 能被 3 整除 ,

即 1a + 1b + 1c + 1d + 1e+ 1f + 1g + 1h + 1i 能被 3 整除

那就能證明九位數的數位之和能被 3 整除 , 那數就能被 3 整除 .

綜合 Eg1 / Eg2 , 只要能證明10^n – 1能被 3 整除 ( 其中 n 是正整數 ) ,
就能證明一個數的數位之和能被 3 整除 , 那數就能被 3 整除 .

證明10^n – 1能被 3 整除

由於10^n – 1 必定是這樣 :

999 … 999
{ n 個 9 }

再分拆為 900000000000000… + 90000000000000… + …
-------------- { ( n – 1 ) 個 0 * 9 } + { ( n – 2 ) 個 0 * 9 } + …

也就是說 , 10^n – 1能被 9 整除 , 9 = 3 * 3 , 即10n – 1能被 3 整除了

除了證明 << 一個數的數位之和能被 3 整除 , 那數就能被 3 整除 . >> , 還證明了 << 一個數的數位之和能被 9 整除 , 那數就能被 9 整除 . >> 呢 !

Let the no. be .....dbca

a + b + c + d + ... = 3M M is integer
a = 3M - b - c - d -...


a + 10b + 100c + 1000d + .... = 3M - b - c - d - ... + 10b + 100c + 1000d + ...
= 3M + 9b + 99c + 999d + ...
= 3(M + 3b + 33c + 333d +...)
∴一個數所有位既數字加埋係3除得盡既就姐係個個數全個值都係3除得盡

2011-04-13 19:48:11 補充：
sorry打錯...Let the no. be .....dcba