數學知識交流(21)

1)2x² - xy - 5x + y + 4 = 0
2x² - 5x + 4 = xy - y
2x² - 5x + 4 = y(x - 1)
y = (2x² - 5x + 4) / (x - 1) x ≥ y ≥ 1x ≥ (2x² - 5x + 4) / (x - 1) ≥ 1
因 x - 1 > 0 ,
x(x - 1) ≥ (2x² - 5x + 4)0 ≥ x² - 4x + 4 = (x - 2)² ≥ 0故 (x - 2)² = 0 ,
x = 2y = (2(2)² - 5(2) + 4) / (2 - 1) = 2x + y = 2 + 2 = 4
2)第 n 天剩獎牌 n 枚第 n-1 天剩獎牌 n / (6/7) + (n-1) = 7n/6 + n-1 枚
n 是 6 的倍數 = 6k第 n-2 天剩獎牌 7 (7n/6 + n-1) / 6 + n-2 枚
7n/6 + n-1 是 6 的倍數。
即
7(6k)/6 + (6k)-1 = 13k - 1 是 6 的倍數。
k = 1 , 7 , 13 , ....
n = 6 , 42 , 78 , 114 .....運動會開 42 天以上不合理,運動會開 了 6 天 ,
第 6 天剩獎牌 6 枚
第 5 天剩獎牌 7(6)/6 + 6 -1 = 12 枚
第 4 天剩獎牌 7(12)/6 + 5-1 = 18 枚
第 3 天剩獎牌 7(18)/6 + 4-1 = 24 枚
第 2 天剩獎牌 7(24)/6 + 3-1 = 30 枚
第 1 天剩獎牌 7(30)/6 + 2-1 = 36 枚運動會開 了 6 天 , 共發獎牌 36 枚。

2011-04-13 22:14:25 補充：
第一題忽略了驗證 x = 1 時 , 2 - y - 5 + y + 4 = 0 不成立。

2011-04-13 22:15:03 補充：
第二題
從現實意義來說 , 規模最大的奧林匹克運動會會期才約16天,所以捨去42 天以上是合理的。且易於驗證 42 、78 、114天...是不合的, 而 6 天是可驗證肯定的。
在此意義上,已可接受 6 天為標準答案。

2011-04-13 22:15:39 補充：
從理論角度看 , 可說明 6 天確是唯一解。
考慮第 n-1 天剩獎牌情況知 n = 6k + 6 形式 (k = 0 , 1 , 2 ...)
考慮第 n-2 天剩獎牌情況知 n = 36k + 6 = 6²k + 6 形式
再深一層考慮第 n-3 天剩獎牌
(7/6) [(7/6) (7n/6 + n-1) + n-2] + n-3 枚,
代入 n = 36k + 6 :

2011-04-13 22:15:57 補充：
= (7/6) [(7/6) (7(6k+1) + 36k+5) + 36k+4] + 36k+3 枚,
= (7/6) [7(13k + 2) + 36k+4] + 36k+3 枚,
= (7/6) [127k + 18] + 36k+3 枚,

2011-04-13 22:16:02 補充：
127k + 18 是 6 的倍數 ==> k 是 6 的倍數 = 6t , (t = 0 , 1 , 2 , ...)
得 n = 36(6t) + 6 = 216t + 6 = 6³t + 6 形式 ,
得 n = 6 , 222 , 654 , 870 , ...

由此可見, 每深一層考慮時, n首值 = 6 固定不變 , 但之後的n值卻比上一層的對應
值有所增長 , 第 x 層(共 x 天)的第2個 n 可能值 = 6^x + 6 > x ,
因此 第 x 層 只有 n首值 = 6時 才有可能。

1)x=2 y=2 x+y=2+2=4(不肯定)
2)運動會開了6天，一共發了36枚獎牌。