數學微積分與統計的問題

Bhine

2011-04-11 2:22 am

罐頭的形狀為直立圓柱體，其底半徑為x cm,高為h cm,且其容量為V cm^3,其中V為常數。罐由金屬薄片造成，每cm^2曲面的成本為1仙，而每cm^2平面的成本則為k仙。設生產一個罐的成本為C仙。為符合經濟效益，C的值須為極小。 a. 證明C=(2V/x)+2丌kx^2b.若dC/dx=0.以丌，k, V表x^3c. 設k=2和V=256丌,(I)求x和h的值，（II）若k的值增加，問對罐的度量有何影響？試加以解釋。d.該公司打算生產加大裝罐頭湯，其形狀仍為直立圓柱體，容量為2V cm^3.設加大裝罐頭的曲面和平面每cm^2的成本仍分別為1仙和k仙。有工人建議加大裝罐頭的底半徑與高度之比，須為標準裝罐頭的兩倍，方能使罐的生產成本達到極小值。試解釋該工人的說法是否正確。

回答 (1)

myisland8132

2011-04-11 3:07 am

✔ 最佳答案

參考答案：a) V = πx^2h => h = V/(πx^2)C= 2πxh + 2πx^2k= 2V/x + 2πx^2k(b) dC/dx = 0-2V/x^2 + 4πxk = 02V/x^2 = 4πxkx^3 = 2V/(4πk)x^3 = V/(2πk)(c)(i) x^3 = 256π/(4π) = 64 => x = 4h = 16(ii) 若k的值增加﹐則每單位底面積的成本增加 => x值或半徑減少。(d) h/x = V/(πx^3) = (V/π)(2πk/V) = 2k在新情況下﹐最佳的x'值滿足 x'^3 = 4V/(4πk) = V/(πk) h'/x' = V'/(πx'^3) = (2V/π)(πk/V) = 2k可知該工人的說法不正確。

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