下滑時間的計算(2)

我改一改題目的符號啦。考慮一個質點沿一條光滑路徑由P_a(0,A)下降至P_b(b,0)。

根據能量守恆﹐在任何一點(1/2)mv^2 + mgy = E。

又v = (ds/dt)^2 = (dx/dt)^2 + (dy/dt)^2 = (dx/dt)^2[1 + (dy/dx)^2]

(ds/dt)^2 = 2E/m - 2gy 或 (dx/dt)[1 + (dy/dx)^2] = √(2E/m - 2gy)...(1)

因為由x = 0 至 x = b 所需的時間是

T = ∫ dt = ∫ 1/(dx/dt) dt (0 - >b )

將(1)代入﹐T = ∫ √{ [1 + (y')^2] /(2E/m - 2gy) } dx (0 - >b )

這是質點沿光滑路徑y下降所需時間的方程式。

若果y取直線y = Ax﹐由(X,AX)下降至(0,0)。 初時E = mgAX

T
= - ∫ √{ [1 + A^2] /(2gAX - 2gAx) } dx (X - > 0 )
= - √[(1 + A^2)/(2gA)]∫ √ 1 /(X - x) dx (X - > 0 )
= 2√[(1 + A^2)/(2gA)]√X...(2)

若果現在考慮一個圓x^2 + (y - R)^2 = R^2 而 Y = AX滿足此一方程﹐則
(1 + A^2)X = 2AR。將這一條式代入(2)即得T = 2√R/g 。與X無關﹗

最後對函數T用Euler 's equation 可以求最速下降路徑。


2011-04-17 02:06:49 補充：
與R即是條軌道多高有關﹐但對X無關。

重頭到尾都是數學啊!

2011-04-12 13:04:12 補充：
共有四題提問,探討最速下滑曲線相關問題,只差沒提問證明擺線為最速下滑曲線(怕大家不易接受所用工具,故省略).
提問的目的是教育與教學,不是給我看的,請大家不吝賜教,謝謝!

2011-04-16 23:12:59 補充：
路徑為圓型軌道時,T與起點有關!

2011-04-17 18:35:49 補充：
圓形軌道與直線軌道兩種所需時間不同,不能都用公式(2)!

用能量解
先算出半徑
接下來你應該會了

這不在物理版發?

與數學有關?