歸納法--整除

這是一條數學恆等式：
a^n + b^n = (a + b)[a^(n-1) - a^(n-2)*b + ……. - a*b^(n-2) + b^(n-1)]
其中 a 和 b 是實數，而 n 是奇數。

根據上式，當 a = 7, b = 4, 奇數 k = n
7^k + 4^k
= (7 + 4)[7^(k-1) - 7^(k-2)*4 + ……. - 7*4^(k-2) + 4^(k-1)]
= 11[7^(k-1) - 7^(k-2)*4 + ……. - 7*4^(k-2) + 4^(k-1)] …… (*)

當 k 為奇數，
[7^(k-1) - 7^(k-2)*4 + ……. - 7*4^(k-2) + 4^(k-1)] = 整數

令整數 m = [7^(k-1) - 7^(k-2)*4 + ……. - 7*4^(k-2) + 4^(k-1)]
則 (*) 變成 7^k + 4^k = 11m …… (**)

故此，
49*7^k + 16*4^k
= 49*7^k + (49 - 33)*4^k
= 49*7^k + 49*4^k - 33*4^k
= (49*7^k + 49*4^k) - 33*4^k
= 49(7^k + 4^k) - 11*3*4^k …… (***)

把 (**) 代入 (***)：
49*7^k + 16*4^k = 49(11m) - 11*3*4^k

那是因為，假設n=k，原式成立
則令 7^k + 4^k = 11m
那
7^(k+2) + 4^(k+2)
= 49*7^k + 16* 4^k
=49*(7^k + 4^k )+16* 4^k - 49* 4^k
=49*(11m) -33 * 4^n
=11(49m-4^n)
故得証