數學問題-----心臟線之重心

同學,你的"解答"有爭議處不少. 且耐心看下去:
1. x(bar)=[int (x*f(x) dx]/[int(f(x) dx] 這個公式只限用於直角坐標上特別的區域R: bounded by y=f(x), y=0, x=a, x=b. 若區域R不是這樣或曲線不是以y=f(x)的形式表現的話此公式都要修改或完全不適用. 其中分母是區域R的面積,分子是區域R的y-moment or the moment with respect to y-axis.
2. 極坐標求面積有個眾所周知的公式[由參數方程式上導過來的]: A=(1/2)int (r^2)d(theta), 假如區域R is bounded by r=r(theta), theta=alpha, theta=beta. 你的"解答"裡下一個分母中去掉 factor 2就對了.
3. 分子要怎麼變換以適何合此題極坐標表示式就是這題的重點了. 大大的疑惑也源生於此. 一般課本未見已導好的公式, 自力救濟模仿直角坐標上用黎曼和可求出積分公式 y-moment of R = (1/3) int[ theta from alpha to beta]{r^3*cos(theta) d(theta)}, 過程我省略了(打起來太久因為要從離散化這個連續的區域開始). 有趣的是剛好也是你的"解答"裡下一個分子中去掉 factor 2.
4. 你的疑惑是這突如其來的公式沒有註明原因而且誤以為稍加代換即可修正出適用的公式.

2011-04-10 20:07:10 補充：
factor 2就是因數或倍數2
公式的證明：http://min.us/lk9HnE裡分子等於(1/3)*int[0 to 2*pi]{r^3*cos(theta)d(theta)}就是我寫出而省略證明的部分. 它不是僅僅經由坐標變換而得, 需從原始的黎曼和從頭導起. 也不適於化成你提出的重積分.