簡單微積分

2011-03-30 5:20 am

好久沒碰微積分了

問一下

我剛剛把1/(1-x) 和 x/(1-x)微分

發現都得到(1-x)^-2

我有算錯嗎

但是

把(1-x)^-2積分卻得到1/(1-x)

我是令u=1-x 去算的

感覺這兩個地方有觀念搞錯

但是又找不到錯的地方

回答 (5)

用戶27351

2011-03-30 6:59 pm

✔ 最佳答案

(1)

1/(1-x)=(1-x)^(-1)

[1/(1-x)]'=(-1)(1-x)^(-2)*(1-x)'

=(1-x)^(-2)

商律得到

[x/(1-x)]'=[(x)'(1-x)-(x)(1-x)']/(1-x)^2

=(1-x+x)/(1-x)^2=(1-x)^(-2)

所以這兩個函數的導函數是相同的

(2)

事實上

x/(1-x)=[(-1+x+1)/(1-x)]

=[(-1+x)/(1-x)]+[1/(1-x)]

=-1+[1/(1-x)]

和1/(1-x)只差常數

所以導函數相等

把(1-x)^-2積分,是不定積分

應得到1/(1-x)+C

其中C為常數

C=0時,是1/(1-x)

C=-1時,就是 x/(1-x)

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[匿名]

2011-03-31 2:38 am

(1-x)^-1+x*(1-x)^-2
化簡一下 ( 提出(1-x)^-1 )
就會得到(1-x)^-2

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[匿名]

2011-03-30 4:29 pm

x*(1-x)^-1微分為(1-x)^-1+x*(1-x)^-2
所以你應該算錯了

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