不等式的證明 8-10

8)ab + cd ≥ 2√(abcd)ab + cd + bc + ad ≥ bc + 2√(abcd) + ad(a + c)(b + d) ≥ [√(bc) + √(ad)]²√[(a + c)(b + d)] ≥ √(ab) + √(cd) 9)1/a + 1/b ≥ 2(1/√a) (1/√b) .....(1)1/b + 1/c ≥ 2(1/√b) (1/√c) .....(2)1/c + 1/a ≥ 2(1/√c) (1/√a) .....(3)三式相加 :2/a + 2/b + 2/c ≥ 2 (1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ac))1/a + 1/b + 1/c ≥ 1/√(ab) + 1/√(bc) + 1/√(ac) 10)bc/a + ca/b ≥ 2√(bc/a)(ca/b) = 2c
同理
ca/b + ab/c ≥ 2a
及
ab/c + bc/a ≥ 2b三式相加/2 : bc/a + ca/b + ab/c ≥ a + b + c


2011-03-28 23:39:26 補充：
8)修正 :

bc + ad ≥ 2√(abcd)

ab + bc + ad + cd ≥ ab + 2√(abcd) + cd

(a + c)(b + d) ≥ (√(ab) + √(cd))²

√[(a + c)(b + d)] ≥ √(ab) + √(cd)