保守場 勢函數 定理推導

F= grad(U) on D <=> F is conservative on D
(grad是梯度)

這是一個定理

左邊到右邊想不通為何
二維的情況可在 James Stewart的Calculus裡找到U(x,y)的詳細建立方式(from F=(P,Q)); 文中( e.g. Early transcendental 6E, pp 1048-1049)也提及三維的情況仿照之類推即可. 憑空找位能函數U的確不容易.

我想問的是 在D裡面 我找到了一個U
而且不管沿著任何路徑走 線積分都是U(B)-U(A)
我可以確定U是F的位能函數嗎? (也就是F=(Ux,Uy,Uz))
既然找到了一個U只消檢驗是否F=(P,Q,R)=(Ux,Uy,Uz)就好. 位能函數(存在的話)可以差個常數.

我以為: 此處 "區域" 是有特定意義的. 簡單地說, 它至少包佔一個
非退化的三維度長方體. 我的理解有誤嗎?

如果 path independence 只是對 D 中兩點 A, B 成立, 我猜是很難
做成 F 是 U 的 gradient field 這個結論吧? 只是要如何去找反例我
也懶得想.

而如果 path independence 是 hold for any A, B in D, 那麼確實 F
是某個 potential function 的 gradient field, 而且要由 F 找出 U 並
不難, 一般大學微積分教本應該都有吧!

請說明D何所指? 是R^3中任意set?

什麼意思??
對任意的兩個點都成立
這個敘述有問題嗎