我想問問一個機率的問題

問：如果連續擲16次都擲到「字」﹐那硬幣擲到「字」的機率是甚麼?

這個問題主要取決於人們用甚麼方法去定義機率。

一：古典機率或拉普拉斯機率：即是教科書常用的方法。無論連續擲多少次「字」﹐下一次擲到「字」的機率都是1/2。

二：實驗概率。根據實驗結果﹐用頻率的方法決定對應機率。例如由第一次擲到第十六次都是「字」﹐則下一次擲到「字」的機率就是1。

三：主觀概率：即是人們根據自己的已有知識和信念判斷事物發生的機率。例如我認為由第一次擲到第十六次都是「字」﹐則下一次擲到「字」的機率是0.9。當然是賭場可能有賭徒認為低過0.5﹐所謂物極必返﹐這就是信念問題。

四：貝葉斯概率：其實就是主觀機率或古典機率及實驗概率的混合。例如若果未擲前我認為擲到「字」或者擲到「頭」都是一半一半。則可設a = 1, b = 1﹐而P(擲到「字」) = a/(a + b) = 1/2﹐P(擲到「頭」) = b/(a + b) = 1/2。當擲完n次後﹐若果「字」出現了m次﹐則將概率更新為P(擲到「字」) = (a + m)/(a + b + n)﹐P(擲到「頭」) = (b + n - m)/(a + b + n) 。

以上述例子為例。P(擲到「字」) = (1 + 16)/(2 + 16) = 17/18﹐P(擲到「頭」) = 1/18 。

嚴格的証明看來并不容易。不過若果用直觀理解則不難明白當中的道理。所謂未擲前的概率即是先驗概率。a = b = 1 可以理解為擲了硬幣2次﹐一次出「字」﹐一次出頭。然後再加上n次真實的結果去更新機率。那麼其實在此的貝葉斯概率也是一種「廣義」的實驗概率﹐只不過加上了虛擬實驗的成份在內。

最後值得一提的是﹐對a,b設不同的值﹐反映了人們對某事物概率的主觀看法。

a,b 都是大數目﹐表示人們很相信理論上的概率值。

a,b 都是小數目﹐表示人們對研究的事物沒有相關概率的知識﹐所以偏向相信實驗。

a,b是小數﹐表示人們對研究的事物知道兩個當中有某一個會有很大的機會發生﹐但不知道是哪一個。

此一方法可以無困難地推廣到有n個可能結果的情況。

p(連擲16次都擲到字)
=(1/2)^16
=0.5^16 = 1.52587891 × 10-5