橢圓第二定義＜２０點＞

第1題:

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AE03435620/o/161103130799413872947450.jpg

設橢圓上任意點P,至焦點A與(左側)準線L距離(PC)的比值為 e, PA/PC=e
又由對稱性可知: PB/PD=e
設左右兩準線相距為2d, 則
PA= e*PC
PB= e*PD
故PA+PB=e(PC+PD)= 2de(常數), 此即橢圓的定義(一)
(註:由上式亦可得橢圓中心至準線距離 d= a/e )

第2題:

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AE03435620/o/161103130799413872947461.jpg

設AB=5, AB與y軸夾角度t, AP:PB=3:2, 則
A(5sint, 0), B(0, 5cost), P(2sint, 3cost)
欲證存在C(0, d), D(0, -d)使得PC+PD=常數(for all t)
PC^2=(2sint)^2+(3cost -d)^2= 5(cost)^2- 6d cost +(d^2+4)
PD^2=(2sint)^2+(3cost +d)^2=5(cost)^2+6d cost +(d^2+4)
(判別式) (6d)^2-4*5*(d^2+4)=0, 即 d^2= 5時,
PC= 3-√5 cost, PD=3+√5 cost,
則PC+PD=6為常數(與t無關,即與P無關)
此即第1定義之橢圓

2011-03-21 00:16:06 補充：
設PD線段與橢圓交點為R, 則 RA/RC= e = PB/PD

以前我唸高中時,也有學到用焦點,準線的方式來定義橢圓和雙曲線,
但現在好像都沒在講這個定義了,
都是單純用兩個焦點來定義,
也許是為了減輕學生的負擔,所以刪除了這部份內容,
對於版主這兩個問題,
我都只知道用解析幾何,也就是方程式的方法,
要怎麼用"幾何"的方法證明,這我就不會了,
期待有高手來解答.

2)
http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=1706&prev=1185&next=1704

2011-03-13 23:51:53 補充：
1)
到定點與到定直線的距離比不變
能用幾何證明跟第一定義的關係嗎？

你的意思是，焦點，與準線嗎
這是拋物線的定義喔。