~~數論習題(Ⅶ)~~

若果x^2 + y^2 及 x^2 - y^2 都是平方數。則

x^2 + y^2 = m^2

x^2 - y^2 = n^2

相乘：x^4 - y^4 = (mn)^2 = z^2...(*)

於是只要證到(*)無正整數解就可以了。

假定有解。不妨設此解(即x,y,z)是令x^2 + y^2 為最小值之解。注意到x,y,z是互質的(否則可產生一更小之解) 因此若將方程轉寫成

z^2 + (y^2)^2 = (x^2)^2

則x^2,y^2,z 形成一畢氏三元數組。故此可令

x^2 = p^2 + q^2, y^2 = p^2 - q^2 或 2pq

考慮回原方程：x^4 - y^4 = z^2

(x^2 + y^2)(x^2 - y^2) = z^2

若果y^2 = p^2 - q^2 ,則(xy)^2 = p^4 - q^4 而p^2 + q^2 = x^2 < x^2 + y^2

換句話說﹐我們找到一更小值之解(p,q) 此與原意不合。因此y^2 = 2pq

由x^2 = p^2 + q^2﹐不失一般性﹐令p是奇數q是偶數。因為p,q,x形成一畢氏三元數組。所以此時存在P > Q > 0 使得

x = P^2 + Q^2, p = P^2 - Q^2, q = 2PQ

這時PQ(P^2 - Q^2) = (1/2)pq = y^2/4 是一個平方數

因此由 P, Q, (P^2 - Q^2) 之互質性推到它們也是平方數。

令P = R^2, Q = S^2, P^2 - Q^2 = T^2 => T^2 = R^4 - S^4

但R^2 + S^2 = P + Q < (P + Q)(PQ)(P - Q) = (1/2)pq = y^2/4 <= y^2 < x^2 + y^2

於是我們找到了一對新的數對(R,S)可以一樣滿足a^4 - b^4 = c^2 而且比原假定的(x,y)對有更小的平方和﹐與原假設矛盾。

因此x^4 - y^4 = z^2沒有正整數解。從而x^2 + y^2 及 x^2 - y^2 兩者至多只有一個是平方數。