高中統計觀念一問

符號copy 自： 老怪物 ( 研究生 1 級)在此致謝也可以用極值(極大極小)來做。令f(p)= [Σ(x_i-P)^2]/n=Σ(x_i^2-2P x_i+ P ^2)/n=Σ(x_i^2-2P x_i+ P ^2)/n=p^2-2p[Σx_i]/n+[Σx_i^2]/n(對p配方)=(p-[Σx_i]/n)^2-([Σx_i]/n)^2+[Σx_i^2]/n當p=[Σx_i]/n 時f值最小，而[Σx_i]/n=μ就是算術平均。用微分求極小就更容易:f(p)= [Σ(x_i-P)^2]/nf’(p)= [Σ2(x_i-P)(-1)]/n=2/n[Σp-Σx_i]=2/n[np-Σx_i](極值發生在 f’=0)=0=> np-Σx_i=0 => p=[Σx_i]/n=μf’’(p)=2 => f’’(μ)=2>0，二階導數>0 =>f(μ) 為極小。因為只有一個極小，所以是最小。

2011-03-03 05:56:16 補充：
f'』是 f'' 是 二階導函數(可能是碼的關係，一撥上就錯了)。

"標準差" 定義上就是以算術平均數為中心, 題目敘述本身是不正確的.
應改為:
以算術平均數為中心的均方差比以其他平均數為中心之均方差小. 即:

[Σ(x_i-μ)^2]/n < [Σ(x_i-P)^2]/n, 對於任意 P≠μ, 其中μ為算術平均數.

μ=Σx_i/n, 即 Σx_i = nμ = Σμ

Σ(x_i-P)^2 = Σ(x_i-μ+μ-P)^2
= Σ(x_i-μ)^2 + Σ(μ-P)^2 + 2Σ(x_i-μ)(μ-P)

因 μ, P 皆為常數, 故
Σ(x_i-P)^2 = Σ(x_i-μ)^2 + n(μ-P)^2 + 2(μ-P)Σ(x_i-μ)
= Σ(x_i-μ)^2 + n(μ-P)^2
≧ Σ(x_i-μ)^2
不等式之等號只在 P=μ 時成立.