一元二次方程加深題！

1) 原式為 5x³ - 5(p+1)x² + (71p-1)x + 1 - 66p = 0觀察得 1 為其中一根,因式分解得(x - 1) (5x² - 5px + 66p - 1) = 0故其他二根為二次方程5x² - 5px + 66p - 1 = 0 之二根。兩根和 = 5p/5 = p 為自然數 , △ = 25p² - 4*5(66p - 1) 必為完全平方。令 25p² - 4*5(66p - 1) = k² , k ≥ 0.[(5p)² - 2(5p)(132) + 132²] - 132² + 20 = k²(5p - 132)² - k² = 17404(5p - 132 - k) (5p - 132 + k) = 2 * 2 * 19 * 229注意 (5p - 132 - k) 與 (5p - 132 + k) 同奇或同偶 , 進而兩數皆偶。有(5p - 132 - k) = 2
(5p - 132 + k) = 2 * 19 * 229
解之得 p = 4484/5(不合) , k = 4350 或(5p - 132 - k) = - 2 * 19 * 229
(5p - 132 + k) = - 2
解之得 p = - 844(不合) , k = 4350 或(5p - 132 - k) = 2 * 19
(5p - 132 + k) = 2 * 229
解之得 p = 76 , k = 210或(5p - 132 - k) = - 2 * 229
(5p - 132 + k) = - 2 * 19
解之得 p = - 116/5 (不合) , k = 210綜上必有 p = 76 。驗證 :
5x² - 5px + 66p - 1 = 0
5x² - 380x + 5015 = 0
5(x - 17)(x - 59) = 0
x = 17 或 59 均為自然數。
2) 令 a - 2b = k , 原式成為x² - (2b + k)x + b = 0其拋物線開口向上 , 故
由一個根在 -1 和 1 之間得 : (-1)² - (2b + k)(-1) + b > 0
及
(1)² - (2b + k)(1) + b < 0
即b > (- k - 1)/3 ...........A及b > 1 - k...................B
又一個根在 1 和 2 之間 , 有(1)² - (2b + k)(1) + b < 0
及
(2)² - (2b + k)(2) + b < 0
即b > (- k - 1)/3............A 及b < (4 - 2k)/3............C綜合 A & C :(- k - 1)/3 < (4 - 2k)/3
- k - 1 < 4 - 2k
k < 5 綜合 B & C :1 - k < (4 - 2k)/3
3 - 3k < 4 - 2k
- 1 < k故 - 1 < k < 5即 - 1 < a - 2b < 5。