數學難題一問---平方數

情況一 : x , y , z 全為奇數x = 2a + 1
y = 2b + 1
z = 2c + 1x² + y² + z² = 4(a² + b² + c² + a + b + c) + 3 = 1993
a² + b² + c² + a + b + c = 497.5
無正整數 x, y, z 解。
情況二 : x , y , z 兩偶一奇x = 2a
y = 2b
z = 2c + 1x² + y² + z² = 4(a² + b² + c² + c) + 1 = 1993a² + b² + c² + c = 498令 c² + c = c(c + 1) = 2k ,當 a , b 均為奇 :a = 2m + 1
b = 2n + 1a² + b² + c² + c = 4(m² + n² + m + n) + 1 + 2k = 498 (無解)故 a , b 均必為偶 。
從而 x 及 y 均為 4 之倍。另一方面,(x + y + z)²
= x² + y² + z² + 2xy + 2yx + 2zx
≤ x² + y² + z² + x²+y² + y²+x² + z²+x²
= 3(x² + y² + z²)
= 3(1993)
= 5979故 x + y + z < √5979 = 77若 x + y + z 為完全平方數 ,因 x , y , z 兩偶一奇, 故 x + y + z 為奇完全平方數。x + y + z = 9 或 25 或 49。當 x + y + z = 9 或 25 時 ,x² + y² + z² ≤ 25² < 1993 無解故 x + y + z 必為 49。因已證 x 及 y 均為 4 之倍 , x + y + z = 49 之可能數組為 :4 + 4 + 41 , 此時 x² + y² + z² = 4² + 4² + 41² = 1713 < 1993 不合。餘下情況的 x² + y² + z² 值勢必少於 1713 全部不合不必再試。因此 x + y + z 不是完全平方數。






2011-02-14 22:22:53 補充：
修正 :
x + y + z = 49 之可能數組為 :
4 + 44 + 1 , 此時 x² + y² + z² = 4² + 44² + 1² = 1953 < 1993 不合。
餘下情況的 x² + y² + z² 值勢必少於 1953 全部不合不必再試。
因此 x + y + z 不是完全平方數。

2011-02-14 23:08:10 補充：
情況二簡化如下 :

x , y , z 兩偶一奇

(x + y + z)²
= x² + y² + z² + 2xy + 2yx + 2zx
≤ x² + y² + z² + x²+y² + y²+x² + z²+x²
= 3(x² + y² + z²)
= 3(1993)
= 5979
故 x + y + z < √5979 = 77
若 x + y + z 為完全平方數 ,
因 x , y , z 兩偶一奇, 故 x + y + z 為奇完全平方數。

2011-02-14 23:08:22 補充：
x + y + z = 9 或 25 或 49。
當 x + y + z = 9 或 25 時 ,
x² + y² + z² ≤ 25² < 1993 無解
故 x + y + z 必為 49。

x + y + z = 49 之可能數組為 :
2 + 2 + 45 , 此時 x² + y² + z² = 2² + 2² + 45² = 2033 > 1993 不合。
2 + 4 + 43 , 此時 x² + y² + z² = 2² + 4² + 43² = 1869 < 1993 不合。

2011-02-14 23:08:27 補充：
餘下情況的 x² + y² + z² 值勢必少於 1869 全部不合不必再試。
因此 x + y + z 不是完全平方數。

2011-02-14 23:21:53 補充：
餘下情況的 x² + y² + z² 值勢必少於 1869 全部不合不必再試。
因此 x + y + z 不是完全平方數。

2011-02-14 23:35:36 補充：
x² + y² + z² 大小順序為 :
46² + 2² + 1² = 2121 > 1993 不合。
45² + 2² + 2² = 2033 > 1993 不合。
44² + 4² + 1² = 1953 < 1993 不合。

餘下情況的 x² + y² + z² 值勢必少於 1953 全部不合不必再試。

2011-02-15 09:34:50 補充：
a = 2m + 1
b = 2n + 1
a² + b² + c² + c = 4(m² + n² + m + n) + 1 + 2k = 498

應是

a² + b² + c² + c
= 4(m² + n² + m + n) + 2 + 2k = 498
= 2(m² + n² + m + n) + 1 + k = 249

因 k 是奇數 , 無解 。

謝謝樓下指正。

a = 2m + 1
b = 2n + 1
a² + b² + c² + c = 4(m² + n² + m + n) + 1 + 2k = 498 (無解)
這裏出現了點問題,請複查

2011-02-15 16:18:25 補充：
k不一定是奇數···

这题需要用整数的奇偶性分析，过程要慢慢打下来