問國二數學3題等差級數((20點

1.歌劇院共有三十排座位，依次每一排較前排多兩個座位，若最後一排有100個座位，則此歌劇院共有幾個座位?Sol
d=2，a30=100
a1=a30+(1－30)*d=100－29d=100－58=42
S_30=(a1+a30)*30/2
=(42+100)*15
=142*15
=2130
共2130個座位

2.一個等差級數的首項為10，公差為2，則此級數第15項到第25項的和為?
Sol
a15=a1+(15－1)*d=10+14*2=10+28=38
a25=a1+(25－1)*d=10+24*2=10+48=58
a15+a16+...+a25
=(38+58)*10/2
=96*5
=480

3.桌子上沿一直線每隔3公分有一個餅乾屑，一共有20個，現有一隻蟲自距第一個餅乾屑2公分出發，一次拿走一個餅乾屑，欲將所有餅乾屑都帶到出發處，則此蟲共需走幾公分的路?
Sol
Set 為一公差為3的等差數列，且a1=0，n=20
＊情況1
　差２
蟲－－第一個餅乾屑－－第二個餅乾屑－－......－－第二十個餅乾屑
a1=0
a20=a1+(20－1)*d=0+19*3=57
S20=(a1+a20)*20/2
=57*10
=570
補上出發處離各點的距離
2*10*2=40
570+40=610
需走610公分
＊情況2
　　　　　　差２　差１
第一個餅乾屑－－蟲－－第二個餅乾屑－－......－－第二十個餅乾屑
a2=3
a20=57
a2+a3+...+a20
=(a2+a20)*19/2
=60*19/2
=570
補上出發點往右的距離差
1*19*2=38
補上出發點往左的距離差
2*2=4
570+38+4=612
需走612公分

2011-02-14 18:56:06 補充：
修改.........

3.桌子上沿一直線每隔3公分有一個餅乾屑，一共有20個，現有一隻蟲自距第一個餅乾屑2公分出發，一次拿走一個餅乾屑，欲將所有餅乾屑都帶到出發處，則此蟲共需走幾公分的路?
Sol
Set 為一公差為3的等差數列，且a1=0，n=20
＊情況1
　差２
蟲－－第一個餅乾屑－－第二個餅乾屑－－......－－第二十個餅乾屑
a1=0
a20=a1+(20－1)*d=0+19*3=57
S20=(a1+a20)*20/2
=57*10
=570
補上出發處離各點的距離
2*20*2=80
570+80=650
需走650公分

2011-02-14 18:56:27 補充：
＊情況2
　　　　　　差２　差１
第一個餅乾屑－－蟲－－第二個餅乾屑－－......－－第二十個餅乾屑
a2=3
a20=57
a2+a3+...+a20
=(a2+a20)*19/2
=60*19/2
=570
補上出發點往右的距離差
1*19*2=38
補上出發點往左的距離差
2*2=4
570+38+4=612
需走612公分

第一題
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝　　口口口口
　口口口口口口
口口口口口口口口　　　
　　　
以上只是我的假設，從上面可知，該劇院椅子數目的公差為2
又該題目問說總共有幾個座位
等差級數和的公式是(a1+aN)*N/2 (可聯想記成梯形公式 上底加下底乘高除2)
末項、項數已知，只剩首項未知
已知共有30排，最後一排共100個座位
套入a30=a1+d*(30-1)　　d = 公差2，a30=100
100 = a1 + 2*29得 a1 = 42
代入等差級數和公式(42+100)*30/2=2130共2130個座位
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝

2011-02-15 10:18:26 補充：
第二題
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a15 到 a25 的級數和?


a15 到 a25 共 25-15+1=10項


代入級數和公式

( a15 + a25 )*10/2.................(1)


又a15 = a1 + d*(15-1) ; a25= a1 + d*(25-1)......帶入(1)式


(2*a1+38*d)*10/2，又a1=10，d=2


(2*10+38*2)*10/2=480


a15到a25的級數和為480
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2011-02-15 10:19:35 補充：
第三題
＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝＝
該題也是級數和的應用

Yom　　O..........O..........O......　　( Yom: 螞蟻，O: 餅乾 )
　　2cm 　3cm 　3cm ...


首先螞蟻距第一個餅乾2cm


故將餅乾放回原處後共走2*2=4cm


距第二個餅乾5cm，放回原處後共走2*5=10cm


到此加上前一個餅乾所走的路


共

4 + 10 = 14cm


從上面的文字敘述可知


螞蟻的去程路徑同等於回程路徑


總路徑和可如下表示


2*( 2 + 5 ) = 14 ，可讀作去程總和的兩倍即是總路徑和

2011-02-15 10:20:01 補充：
第三趟的總路徑即

2*( 2 + 5 + 8 ) = 30



第四趟的總路徑即

2*( 2 + 5 + 8 +11 ) = 52



發現到了嗎?

總路徑可重新整理為


2*(2 + a1 + a2 + a3 + a4 +.....+a20 ) = S　　a1=第一塊餅乾.....


首項為a1=5 末項為a20=a1+d*(20-1) 公差為3 項數為20項


代入級數和公式

(a1+a20)*N/2 = ( 2*a1 + 19 * d )*20/2 = 670

2011-02-15 10:20:19 補充：
代回總路徑中

S=2*( 2 + a1+ a2 + a3 +....+a20 )
=2*( 2 + 670 )
=1344

2011-02-15 10:30:37 補充：
由於題目說明不夠仔細，造成狀況二的發生可能

但解法同狀況一

全式展開如下

S = 2*( 2 + 1 + 4 + 7 + ... ) = 2*( 2 + a2 + a3 + a4 + ... + a20 )

整個級數和是從第二餅乾開始的，共19項，公差為3

( a2 + a20 )*N / 2 = ( 2*a2 + 18*d )*19/2 = 532 代回總路徑中

S = 2*( 2 + a2 + a3 + a4 + ... + a20 ) = 2*( 2 + 532 ) = 1068

狀況二下，螞蟻共走1068 CM