整數問題 : 整數解 整除 證明

(1)
先給你一個概念
ax+by=c
若存在整數x,y使得ax+by=c
則c為(a,b)的倍數


6x+ay=2
則(6,a)=1 or 2
若(6,a)=1
則有200-100-66+33=67(全部-2的倍數-3的倍數+6的倍數)
若(6,a)=1=2
則有100-33=67(2的倍數-6的倍數)
則總共有67+67=134



(2)
同上題概念
k必須是(221,391)=17的倍數
因此k之最大值=1989
最小值=1003



(3)
利用同餘定理
(7a+2b-5c)+(3a-7b+12c)=10a-5b+7c
(10a-5b+7c)-(66a+11b-33c)=-56a-16b+40c=-8(7a+2b-5c)
又7a+2b-5c為11倍數
所以3a-7b+12c也是11的倍數
11 | 3a-7b+12c



(4)
abc,acb,bac,bca,cab,cba
所以6個數的和為2*(100+10+1)(a+b+c)
=222(a+b+c)
則其中一個數=222(a+b+c)-3194
(a+b+c)最小15最大18
若a+b+c=15
222*15-3194=136
1+3+6=10(不合)
若a+b+c=16
222*16-3194=358
3+5+8=16
若a+b+c=17
222*17-3194=580
5+8+0=13(不合)
若a+b+c=18
222*18-3194=802
8+0+2=10(不合)
因此這六個三位數中最大的是853



(5)
設a屬於正整數, n>1, a^n-1為質數, 證明: a=2, n為質數


用反證法
假設n不是質數，n=ab(a,b都不是1)(2^n)-1=(2^ab)-1=(2^a)^b-1=[(2^a)-1][(2^a)^(b-1)+(2^a)^(b-2)+(2^a)^(b-3)+...+(2^a)^2+(2^a)+1]因為2^a-1大於1(因為a大於1)，後面的中括號內也大於1，所以(2^ab)-1可以寫成兩個大於1的整數相乘，所以這個數並非質數由反證法,故得證


2011-02-13 09:16:56 補充：
字體變的怪怪的= =

原來a=2不是條件阿
謝謝=)

(1)
http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=1335&prev=828&next=1333

2011-02-12 16:52:44 補充：
(3)
http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=1336&prev=828&next=1335

2011-02-12 17:20:15 補充：
(4)
http://tw.myblog.yahoo.com/sincos-heart/article?mid=1337&prev=828&next=1336

2011-02-13 10:31:54 補充：
(5)
原來是，a的n次方減1，

要先證明a=2
a^n -1=(a-1)(a^(n-1)+a^(n-2)+.............1)
n>1，(a^(n-1)+a^(n-2)+.............1)>1
知，a-1 =1，a=2