簡單的數列問題

1)位於B處的小明站在A處的小貓前方6米.他們以固定的速率沿直路向首同一方向跑.當小明跑到C黠時,小貓到達B點:當小明跑到D點時,小貓到達C點,如此類推.小貓的速率是小明的3倍.現問小貓超越小明前共跑了多遠?

設小明的速度為 v 米/秒。以 an 米表示小明在第 n 秒所行的距離。
a1 = v, a2 = 2v, ...... an = nv
這是等差級數，首項是 = 公差 = v
小明在第 n 秒所跑的距離 = nv 米

小貓的速率 = 3v 米/秒
同理，小貓所走的距離亦是等差級數，首項是 = 公差 = 3v
小貓在第 n 秒所跑的距離 = 3nv 米

小貓剛超越小明時，比小明多跑了 6 米。
3nv = nv + 6
2nv = 6
nv = 3
3nv = 9

小貓剛超越小明時，共跑了的距離 = 9 米


= = = = =
2)A跟B相距868m.他們同時向著對方走,在第1分鐘,第2分鐘裹和第三分鐘裹,A分別走了78m、76m和74m.而B則分別走了46m、48m和50m.若各人每分鐘所走的距離形成等差數列,他們兩人會在多少分鐘後相遇?

設兩人在 n 分鐘後相還

Sn = n[2a1 + (n - 1)d]/2

A 在第 n 分鐘所走的距離：78 m, 76 m, 74 m ......
是等差級數，首項 = 78 m，公差 = (76 - 78) = -2m
A 在 n 分鐘內所走的距離
= n[2(78) + (n - 1)(-2)]/2 m
= (79n - n²) m

B 在第 n 分鐘所走的距離：46 m, 48 m, 50 m ......
是等差級數，首項 = 46 m，公差 = (48 - 46) = 2m
A 在 n 分鐘內所走的距離
= n[2(46) + (n - 1)(2)]/2 m
= (45n + n²) m

(79n - n²) + (45n + n²) = 868
124n = 868
n = 7

他們會在 7 分鐘後相遇。

2011-02-11 17:39:24 補充：
第1題不用數列的計法。

設小明的速率為 v 米/秒，則小貓為 3v 米/秒。
設小貓 t 秒後追及小明。

3vt = vt + 6
2vt = 6
3vt = 9

小貓所跑距離
= 速率 x 時間
= 3vt 米
= 9 米 ...... (答案)