等差數列題目..

1.
設 a = a1，公差為d。

a1 + a2 + a3 + ... + a50 = 100
50(2a + 49d)/2 = 100
2a + 49d = 4 ...... (1)

(a1 + a2 + a3 + ... + a50) + (a51 + a52 + a53 + ... + a100) = 100 + 200
100(2a + 99d)/2 = 300
2a + 99d = 6 ...... (2)

(2) - (1):
50d = 2
d = 1/25
a2 - a1 = 1/25


= = = = =
2.
b - a = 13 - b ...... (1)
a + 3b = 2 ...... (2)

(1) + (2):
4b = 15 - b
5b = 15
b = 3

把 b = 3 代入 (2) 中:
a + 3(3) = 2
a = -7

a + b = -7 + 3
a + b = -4


= = = = =
3.
設 a = a1, 公差為 d。

S10 = S15
10(2a + 9d)/2 = 15(2a + 14d)/2
20a + 90d = 30a + 210d
10a + 120d = 0
a + 12d = 0

a13 = a + 12d
所以 C: a13 = 0


= = = = =
4.
當第 (m + 1) 項為負值時，m項和最大。

a(m+1) < 0
85 + [(m + 1) - 1](-3) < 0
85 - 3m < 0
3m - 85 > 0
3m > 85
m > 28
所以 m = 29


= = = = =
5.
考慮第二個等差數列：
a3、a6、...... a3m重複
第 20 個重複的數的項數 = 3*20 = 60
第 20 個重複的數 = 3 + (60 - 1)*(7 - 3) = 239


= = = = =
6.
設 a = a1, 公差為 d。

a35 + a65 = 5
(a + 34d) + (a + 64d) = 5
2a + 98d = 5

99項之和
= 99(2a + 98d)/2
= 99*5/2
= 247.5


= = = = =
7.
設首項為 a - d，公差為 d。
則兩邊為 (a - d) 公分及 a 公分，而斜邊為 (a + d) 公分。

(1/2)a(a - d) = 216 ...... (1)
(a + d)² = a² + (a - d)² ...... (2)

由 (2):
a² + 2ad + d² = a² + a² - 2ad + d²
a² - 4ad = 0
a(a - 4d) = 0
因為 a ≠ 0
所以 a = 4d ...... (3)

(3) 代入 (1) 中:
(1/2)(4d)(4d - d) = 216
6d² - 216 = 0
6(d + 6)(d - 6) = 0
d = -6(不合) 或 d = 6

把 d = 6 代入 (3) 中:
a = 4(6)
a = 24
a - d = 18
a + d = 30

設三角形斜邊上的高為 h 公分。
三角形面積
(1/2) * 30 * h = 216
h = 14.4

三角形斜邊上的高 = 14.4 公分

(1) 1/25

(2) -4

(3) C

(4) m=29

(5) 239

(6) 247.5

(7) 14.4cm