畢氏定理的證法

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這個定理有許多證明的方法，其證明的方法可能是數學眾多定理中最多的。路明思（Elisha Scott Loomis）的 Pythagorean Proposition一書中總共提到367種證明方式。有人會嘗試以三角恆等式（例如：正弦和餘弦函數的泰勒級數）來證明畢氏定理，但是，因為所有的基本三角恆等式都是建基於畢氏定理，所以不能作為畢氏定理的證明（參見循環論證）。
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有許多畢氏定理的證明方式，都是基於相似三角形中兩邊長的比例。設ABC為一直角三角形, 直角於角C（看附圖）. 從點C畫上三角形的高，並將此高與AB的交叉點稱之為H。此新三角形ACH和原本的三角形ABC相似，因為在兩個三角形中都有一個直角（這又是由於「高」的定義），而兩個三角形都有A這個共同角，由此可知第三隻角都是相等的。同樣道理，三角形CBH和三角形ABC也是相似的。這些相似關係衍生出以下的比率關係：因為
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在歐幾里得的《幾何原本》一書中給出畢氏定理的以下証明。設△ABC為一直角三角形，其中A為直角。從A點劃一直線至對邊，使其垂直於對邊。延長此線把對邊上的正方形一分為二，其面積分別與其餘兩個正方形相等。在定理的證明中，我們需要如下四個輔助定理：如果兩個三角形有兩組對應邊和這兩組邊所夾的角相等，則兩三角形全等。（SAS定理）三角形面積是任一同底同高之平行四邊形面積的一半。任意一個正方形的面積等於其二邊長的乘積。任意一個矩形的面積等於其二邊長的乘積（據輔助定理3）。證明的思路為：把上方的兩個正方形，透過等高同底的三角形，以其面積關係，轉換成下方兩個同等面積的長方形。
其證明如下：設△ABC為一直角三角形，其直角為CAB。其邊為BC、AB、和CA，依序繪成四方形CBDE、BAGF和ACIH。畫出過點A之BD、CE的平行線。此線將分別與BC和DE直角相交於K、L。分別連接CF、AD，形成兩個三角形BCF、BDA。∠CAB和∠BAG都是直角，因此C、A 和 G 都是線性對應的，同理可證B、A和H。∠CBD和∠FBA皆為直角，所以∠ABD等於∠FBC。因為 AB 和 BD 分別等於 FB 和 BC，所以△ABD 必須相等於△FBC。因為 A 與 K 和 L在同一直線上，所以四方形 BDLK 必須二倍面積於△ABD。因為C、A和G在同一直線上，所以正方形BAGF必須二倍面積於△FBC。因此四邊形 BDLK 必須有相同的面積 BAGF = AB²。同理可證，四邊形 CKLE 必須有相同的面積 ACIH = AC²。把這兩個結果相加， AB²+ AC² = BD×BK + KL×KC由於BD=KL，BD×BK + KL×KC = BD(BK + KC) = BD×BC由於CBDE是個正方形，因此AB² + AC² = BC²。此證明是於歐幾里得《幾何原本》一書第1.47節所提出的

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此證明以圖形重新排列證明。兩個大正方形的面積皆為(a + b)2。把四個相等的三角形移除後，左方餘下面積為a2 + b2，右方餘下面積為c2，兩者相等。證畢。

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如图1，Rt△ABC中，∠ABC=90°，BD是斜边AC上的高，通过证明三角形相似则有射影定理如下：
1）（BD）^2;=AD·DC，（2）（AB）^2;=AD·AC ，（3）（BC）^2;=CD·AC 。
由公式（2）+（3）得：
（AB）^2;+（BC）^2;=AD·AC+CD·AC =（AD+CD)·AC=（AC）^2;，
iq. （AB）^2;+（BC）^2;=（AC）^2，这就是勾股定理的结论。

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在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2
化简后便可得：
a2+b2=c2
iq. c=（a2+b2）(1/2)

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