已知二次方程兩根分佈求係數範圍

有實根可用勘根定理

令f(x)=7x^2-(k+13)x+k^2-k-2

一根在0<α<1
==>f(1)=k^2-2k-8 ,f(0)=k^2-k-2
依據勘根定理知:
==>f(1)f(0)=(k^2-2k-8)(k^2-k-2)
=(k-4)(k+2)(k-2)9k+1)<0
==>-2<k<-1或 2<k<4

一根在1<β<2
==>f(1)=k^2-2k-8 ,f(2)=k^2-3k
依據勘根定理知:
==>f(1)f(2)=(k^2-2k-8)(k^2-3k)
=(k-4)(k+2)k(k-3)<0
==>-2<k<0 或3<k<4

綜合上式兩條件知: 3<k<4或 -2<k<-1

似乎 (k+13)^2-4*7(k^2-k-2)>0 判別式>0 沒有必要列出來?

有錯請指正。

我可能選 003 。

2011-02-19 12:22:08 補充：
一元二次方式有二實根.判別式只能証明有沒有實根.無法說明實根的位置.
因x^2項為正,拋物線開口向上.二根之間部份f(x)值必為負,其餘為正.
由此可知f(0)>0, f(1)<0, f(2)>0
符合這三項也保証了f(x)=0必有二實根,不用再測試判別式了.

若 ax^2+bx+c=0 有兩相異實根，則判別式 b^2-4ac>0
勘根定理︰若 f(x) 在 [a,b] 連續且 f(a)f(b)<0，則在 (a,b) 至少存在一 c 使得 f(c)=0

判別式>0
(k+13)^2-4×7(k^2-k-2)>0
-27k^2+54k+225>0
27k^2-54k-225<0
3k^2-6k-25<0
[3-2×21^(1/2)]/3<k<[3+2×21^(1/2)]/3 (1)

f(0)f(1)<0
(k^2-k-2)[7-(k+13)+k^2-k-2]<0
(k^2-k-2)(k^2-2k-8)<0
(k-2)(k+1)(k-4)(k+2)<0
-2<k<-1 及 2<k<4 (2)

f(1)f(2)<0
[7-(k+13)+k^2-k-2][28-2(k+13)+k^2-k-2]<0
(k^2-2k-8)(k^2-3k)<0
(k-4)(k+2)k(k-3)<0
-2<k<0 及 3<k<4 (3)

取 (1)、(2) 及 (3) 之交集得所求為 -2<k<-1 及 3<k<4

(k+13)^2-4*7(k^2-k-2)>0 判別式>0
(k^2-k-2)(k^2-2k-8)<0 f(0)f(1)<0(來自勘跟)
(k^2-2k-8)(k^2-3k)<0 f(1)f(2)<0
求解交集可得


2011-02-06 01:45:02 補充：
顆 正要補的時候有更詳細的了= =
勘根定理就是說方程式實根的檢驗法
在0-1間和1-2間有實根 就是此方城式圖形與x軸交於0-1 1-2間兩點
所以f(0) f(1)一定異號(相乘小於0) f(1) f(2)也異號(也是相乘小於0)

回到正題 判別是b^2-4ac>0 把他化簡得3k^2-6k-25<0
1-根號89/3<1+根號89/3
2 3式就只是把x=0 跟x=1帶入 相乘值<0

......~"~都同個做法 這麼多回答....

2011-02-06 01:45:45 補充：
1-根號89/3<1+根號89/3

2011-02-06 01:46:46 補充：
1-根號89/3<1+根號89/3
為啥會把我打的吃掉= =

2011-02-18 13:39:27 補充：
選誰是無所謂啦...
判別式一般來說是要列出來的
這題剛好答案會跟沒有列一樣而已
其他的可就不一定了