多變數涵數取極限

lim　　　　　　　（ｘ^２＊ｙ^２）／(ｘ^２＋ｙ^２)
x→０
ｙ→０

1. 這題答案是零, 所以"證明"時不能用y=mx 這一套, 因為點(x,y)趨近於原點(0,0)時不限於沿直線為之.

2. 這題若以y=mx代入會得到零,不管斜律m是何值.[請自行驗之]

3. 為甚麼...連續多向式可以直接用代的?
譬如說
lim　　　　　根號（x^2+y^2）
x→０
ｙ→０
這是函數之所以稱為連續的定義. 若"直接用代的"套入你的問題得到的是0/0, 是需要more information to justify 的未定值.二者不能並論.

4. 最簡易且合理的證明法是化成極坐標(x,y)-->(rcost,rsint) , (x,y)-->(0,0) implies r-->0於是得到答案是零. 跟單變數感覺是一樣的--->不太一樣.

5. 我也看了網路上的一些觀念...
網路上的有對有錯,要能判斷. [包括我寫的這些]盡信書不如無書

6. 用y=mx 是想推翻極限存在的最好方法, 若不同m可得不同極限的話.


2011-02-03 22:16:11 補充：
@@第一題跟第三題的部分是不是排版錯誤了啊@@
(0.0)帶入根號怎麼會有0/0 ?

(0.0)帶入"根號（x^2+y^2)" 得根號0=0, ---- 這題適用你所謂的直接代入法, 原因就是"根號（x^2+y^2)"這個函數在(0.0)連續.
(0.0)帶入"（ｘ^２＊ｙ^２）／(ｘ^２＋ｙ^２)" 成為0/0的形式,不是嗎?

2011-02-03 22:16:48 補充：
但就算假設你是排版錯誤..
我令Y=MX入根號
根號(1+M^2)(X^2)
開根號..我哪知道M是甚麼..
這樣不是隨M值而定嘛...??

不要忘記你的極限取在點趨近於原點. 縱然 y=mx,還需令x-->0才行.
故在此狀況下原極限= lim[x-->0] 根號(1+M^2)(X^2)=0 for any m. -----它不是隨M值而定!

2011-02-03 22:17:01 補充：
Y=MX是..證明@@??
不是吧=ˇ=?
不是一種LIM的計算嘛?

不是每一個(多變量)函數的極限均存在. 想證明其不存在時, 此法( y=mx)最簡單.但是對存在的情形此法不足以證明,如先前的1.
你這樣問表示有些觀念仍未釐清, 建議再仔細研究一下原始(極限的)定義.

2011-02-10 05:52:05 補充：
我的問題是
你們怎麼能夠看出 這個多變數涵數 是有極限還是無極限

這個問題就問到重點了. 我們先直接代入看看, 若得到一實數r, 那麼極限存在且等於r ; 若代入得到像0/0, inf/inf 等等曖昧的東西(indefinite forms)就要進一步的觀察了, 因為極限存在不存在均有可能發生. 這時若分子分母均為多項式時有個偷看答案的撇步: 若分子次數大於分母次數時極限會存在[但未必是零!]; 若分子次數小於等於分母次數時極限會不存在.

2011-02-10 05:52:47 補充：
此招準確度高於九十九趴, 但數學講究嚴謹還需證明了才算數. 至於證明法, 我獨鍾用換成極坐標的方法(在二 變數函數的狀況). 應用到你再舉的例子

我在舉個例子喔...

2(X^2)*Y/( X^4+Y^2) (X.Y)→(00)

分子是三次骯分母是四次 ---> 準備用y=mx ....推翻極限存在的可能吧!

(1) 要證明 "連續" 或 "極限存在", 必須由定義著手或利用一些定理證明.
(2) 要證明 "極限不存在", 只需要找到一條路線其極限不存在, 或兩條路
線其極限不等.
(3) 有些函數取極限只需把目標點代入計算, 是因為我們已知那是連續函
數, 例如多項式函數.

lim　　　　　　　（ｘ^２＊ｙ^２）／(ｘ^２＋ｙ^２)=0
x→０
ｙ→０
說明:
分子分母同除以(x^2*y^2)得
1/((1/y^2)+(1/x^2))
當x→０ ｙ→０
時 上式分母二項都(=1/0)趨近於 無限大,因此分母為無限大,1/無限大=0.