F4 MATH

1. 證明二次方程 x² + 2kx + 2k = 1 有實根，其中k 為實數。

x² + 2kx + 2k = 1
x² + 2kx + (2k - 1) = 0

判別式 Δ
= (2k)² - 4(1)(2k - 1)
= 4k² - 8k + 4
= 4(k- 1)² ≥ 0

因為判別式 ≥ 0，方程有實根。


= = = = =
2. 已知 f(x) = x² - 2x + 6。
a) 化簡 f(3a + 1) 和 f(3a - 1)。

f(3a + 1)
= (3a + 1)² - 2(3a + 1) + 6
= 9a² + 6a + 1 - 6a - 2 + 6
= 9a² + 5

f(3a - 1)
= (3a - 1)² - 2(3a - 1) + 6
= 9a² - 6a + 1 - 6a + 2 + 6
= 9a² - 12a + 9


b) 解方程 2f(3a + 1)- f(3a - 1) = 0，答案以根式表示。

2f(3a + 1)- f(3a - 1) = 0
2(9a² + 5) - (9a² - 12a + 9) = 0
9a² + 12a + 1 = 0
a = [-12 ± √(12² - 4*9*1)] / 2*9
a = (-2 + √3)/3 或 a = (-2 - √3)/3


= = = = =
3. 考慮二次方程 4x² - 2(2k + 1)x + 2k - 5 = 0。根據下列各情況，求k 的值。
a) 方程的其中一根為2

4*2² - 2(2k + 1)*2 + 2k - 5 = 0
8 - 8k - 4 + 2k - 5 = 0
-6k - 1 = 0
k = -1/6


b) 方程兩根的積比兩根的和大5

兩根的和 = 2(2k + 1)/4
兩根的積 = (2k - 5)/4

(2k - 5)/4 - 2(2k + 1)/4 = 5
(2k - 5 - 4k - 2)/4 = 5
-2k - 7 = 20
2k = -27
k = -13.5


c) 方程的一根為另一根的倒數

設方程的根為 α 和 1/α。

兩根之積：
α * (1/α) = (2k - 5)/4
2k - 5 = 4
2k = 9
k = 4.5


d) 方程的一根比另一根大3

設方程的根為 α 和 α + 3。

兩根之和：α + (α + 3) = 2(2k + 1)/4 ..... (1)
兩根之積：α(α + 3) = (2k - 5)/4 ...... (2)

由(1):
8α + 12 = 4k + 2
8α = 4k - 10
α = (2k - 5)/4 ...... (3)

把 (3) 代入 (2) 中:
[(2k - 5)/4] * [(2k - 5)/4 + 3) = (2k - 5)/4
(2k - 5)(2k + 7)/16 = (2k - 5)/4
(2k - 5)(2k + 7) - 4(2k - 5) = 0
(2k - 5)(2k + 7 - 4) = 0
(2k - 5)(2k + 3) = 0
k = 2.5 或 k = -1.5