高二數學圓與球題目

1.
假設M座標(x', y')
當P點在座標(x, y)時，又因為M為AP中點
所以x'=(x+3)/2且y'=(y+4)/2
則x=2x'-3，y=2y'-4
代入圓方程式，(2x'-3)^2+(2y'-4)^2=25
兩邊同除以4，[x'-(3/2)]^2+(y-2)^2=25/4
因此軌跡也是圓，方程式[x-(3/2)]^2+(y-2)^2=25/4
2.
(1)
直線x+y=1的斜率為-1，因此假設所求切線y=x+k
將圓與y=x+k取交點，得到交點x座標滿足
x^2+(x+k)^2+6x-2(x+k)+5=2x^2+(2k+4)x+(k^2-2k+5)=0
因為切線與圓交點只有一個
所以(2k+4)^2-4*2*(k^2-2k+5)=0，解得k=4+√10或4-√10
切線為y=x+(4+√10)和y=x+(4-√10)
(2)
直線x+y=1的斜率為-1，因此假設所求切線y=-x+k
將圓與y=-x+k取交點，得到交點x座標滿足
x^2+(-x+k)^2+6x-2(-x+k)+5=2x^2+(8-2k)x+(k^2-2k+5)=0
因為切線與圓交點只有一個
所以(8-2k)^2-4*2*(k^2-2k+5)=0，解得k=-2+√10或-2-√10
切線為y=-x+(-2+√10)和y=-x+(-2-√10)
3.
(1)
L的參數式表示為：
{x=2+t
{y=3-t
{z=1-2t
則L上的點(2+t, 3-t, 1-2t)到球心O距離的平方為

(2+t)^2+(3-t)^2+(1-2t)^2=6t^2-6t+14
當t=1/2時，6t^2-6t+14有最小值25/2
因此O到L距離√(25/2)=(5√2)/2
(2)
S的半徑為√50=5√2
L到O距離比半徑小，因此有2個交點
(3)
球半徑、過O做L的垂線段、一半弦長
三邊構成一直角三角形，其中垂線段長(5√2)/2
因此一半弦長為(5√6)/2，全部弦長5√6
4.
(1)
S與L相切，則球心距離L恰為r
L的參數式為：
{x=1+t
{y=-1-t
{z=2+t
則L上的點(1+t, -1-t, 2+t)到球心O距離的平方為

(1+t)^2+(-1-t)^2+(2+t)^2=3t^2+8t+6
當t=-4/3時，3t^2+8t+6有最小值2/3
因此r=√(2/3)=(√6)/3
切點座標為t=-4/3時的點(-1/3, 1/3, 2/3)
(2)
從M(-1/3, 1/3, 2/3)到球心O的平面法向量為(-1, 1, 2)
假設所求-x-y+2z=k，又它通過M
k=-(-1/3)+(1/3)+2(2/3)=2，得所求-x+y+2z=2
5.
您可先算出三頂點：(-1, 1)、(7/11, 35/11)、(13/11, -1/11)
接下來可挑選兩條邊的中垂線來計算圓心與半徑
或者代入x^2+y^2+ax+by+c=0解(a, b, c)
考慮回答篇幅且數字太複雜，只貼一個大約的方程式如下：
x^2+y^2-1.223x-2.992y-0.2314=0
6.
首先將T代入直線得M=-2
因為圓方程式中有-6y，將它設為：(x-a)^2+(y-3)^2=r^2
則(a, 3)到T的距離就是它到y=-2x+5的距離
|2a-2|/√5=√[(a-2)^2+4]，得a=6
則r=|2a-2|/√5=2√5
因此圓方程式為(x-6)^2+(y-3)^2=20，得P=-12、Q=25


2011-02-01 21:29:29 補充：
7.
計算AB邊中垂線為2x-y=-2

設圓心x座標為t，則圓心座標為(t, 2t+2)

圓與x軸相切，則|2t+2|即為半徑

又這圓心和A相距√[(t-0)^2+(2t+2-2)^2]=√(5t^2)

2011-02-01 21:29:50 補充：
|2t+2|=√(5t^2)，得t=4+2√5或4-2√5

因此圓心座標為(4+2√5, 10+4√5)和(4-2√5, 10-4√5)

圓方程式分別為
[x-(4+2√5)]^2+[y-(10+4√5)]^2=180+80√5
[x-(4-2√5)]^2+[y-(10-4√5)]^2=180-80√5

希望如上回答對您有幫助~

2011-02-01 21:58:40 補充：
To ior****** 大大：

感謝您提供更好的解法，在下本身脫離高中數年所以比較沒印象了~

To醬油

第一題可以利用弦中點到圓心與該弦垂直
(x-3,y-4)˙(x-0,y-0)=0
=>x²+y²-6x-8y=0
這樣會比較快
不過你解的題目還真有耐心..........