超簡單空間直線(急)!!!要求詳解

設該切點為 A(p, q, r), 其中 p, q, r > 0 和 p2 + q2 + r2 = 1

A 與 (2, 1, 0) 之間所成的向量為 (p - 2)i + (q - 1)j + rk

A 與 (1/2, 0, 1) 之間所成的向量為 (p - 1/2)i + qj + (r - 1)k

而 A 與原點之間所成的向量為 pi + qj + rk

由題目可知:

(pi + qj + rk) x [(p - 2)i + (q - 1)j + rk] = 0 和 (pi + qj + rk) x [(p - 1/2)i + qj + (r - 1)k] = 0

即:

p(p - 2) + q(q - 1) + r2 = 0

p2 + q2 + r2 - 2p - q = 0

q = 1 - 2p ... (1)

及

p(p - 1/2) + q2 + r(r - 1) = 0

p2 + q2 + r2 - p/2 - r = 0

r = 1 - p/2 ... (2)

將 (1), (2) 代入 p2 + q2 + r2 = 1:

p2 + (1 - 2p)2 + (1 - p/2)2 = 1

21p2 - 20p + 4 = 0

(3p - 2)(7p - 2) = 0

p = 2/3 或 2/7

當 p = 2/3 時, q = -1/3 和 q = 2/3 (捨棄)

當 p = 2/7 時, q = 3/7 和 q = 6/7

所以切點坐標為 (2/7, 3/7, 6/7)

2011-01-31 16:47:31 補充：
題目球面x^2 + y^2 + z^2 = 1 有一個切點對呢條題目有何作用?

即是說,(1) (p, q, r) 符合 x^2 + y^2 + z^2 = 1, 變成 p^2 + q^2 + r^2 = 1

(2) (p, q, r) 與點 (2, 1, 0) 及與點 (1/2, 0, 1) 所形成的直線會是球體面的切線