高微小考試題7
2011-01-27 12:13 am
Let A be a non-empty subset of R and let α∈R be an upper bound of A. Prove thatα=supA if and only if for any ε＞0 there exists x∈A such thatα－ε＜x.
回答 (1)
2011-01-27 7:24 am
✔ 最佳答案
設 α=supA , ε＞0. 若不存在 x in A s.t. α-ε＜x, 表示 x in A implies x≦α-ε<α,
與 α=supA 矛盾.
反之, 設α為 A 之一 upper bound, 且
for all ε>0, 存在 x in A s.t. α-ε＜x.
則 for any β<α, 取 ε=α-β, 存在 x in A s.t. β<x, 故 β 不是 A 的 upper bound.
換言之, α 是 A 的所有 upper boubds 中最小的. 即: α=supA.
收錄日期: 2021-05-04 01:46:32
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