高微小考試題7

設 α=supA , ε＞0.
若不存在 x in A s.t. α-ε＜x, 表示 x in A implies x≦α-ε<α,
與 α=supA 矛盾.

反之, 設α為 A 之一 upper bound, 且
for all ε>0, 存在 x in A s.t. α-ε＜x.
則 for any β<α, 取 ε=α-β, 存在 x in A s.t. β<x, 故 β 不是 A 的 upper bound.
換言之, α 是 A 的所有 upper boubds 中最小的. 即: α=supA.