高微小考試題8

若x,y皆有理數，2^(1/2)已得證是無理數

2^(1/2) 屬於 (0,2)
2^(1/2) * (y-x)/2 屬於 (0,y-x)
2^(1/2) * (y-x)/2 + x 屬於 (x,y)
就找到了

若x,y只有一個是無理數
(x+y)/2
就是了

至於如何證明這些確實都是無理數
第一種狀況
如果 2^(1/2) * (y-x)/2 + x 是有理數的話
那麼根據有理數的運算封閉性，由於x,y都是有理數，所以
[2^(1/2) * (y-x)/2 + x - x] *2/(y-x) = 2^(1/2)也是有理數矛盾

第二種狀況
如果 (x+y)/2 是有理數的話
那麼根據有理數的運算封閉性，假設x是有理數y是無理數，所以
(x+y)/2 * 2 - x = y 也是有理數矛盾


最後一種是x,y都是無理數
我們假設x,y之間沒有任何無理數
若是x,y之間沒有有理數，那就代表x,y之間沒有任何實數，這顯然不可能
所以x,y之間必有一有理數，假設其為p
那麼 p 和 y 之間由第二種狀況可知必有一無理數存在
與假設x,y之間沒有任何無理數矛盾

2011-01-30 21:24:04 補充：
有句"顯然不可能"，我也給他證完，兩不同實數之間必有實數 (x + y )/ 2 由實數運算封閉性可知成立

2011-04-11 13:51:50 補充：
雖說有點過期了，我把他補完

假設 x > y 好了
找到 p 的方法是，由小數點往後數，找到兩者第一個不一樣的位數，把x不包含該位數後的所有位數改成0就有了。

話說要用建構式證明的人不是我

在 http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1011010204332
證明了兩(相異)實數間必有一有理數, 也證明了兩有理數間必有一無理數.
從以上兩個結論, 不難得證兩實數間必有一無理數. 此法是建構性的, 即:
提供了一個 "找" 到有理數或無理數的方法.

http://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:3P9fPFbIQQEJ:alert.comule.com/%3Fp%3D7546+Prove+that+if+x,y%E2%88%88R+with+x%EF%BC%9Cy,+then+there+exists+an+irrational+number+p+such+that+x%EF%BC%9Cp%EF%BC%9Cy.&cd=1&hl=zh-TW&ct=clnk&gl=tw 我覺得英語版知識+這個答案不錯！符合人類的認知過程及數學建模的解答方式。Suppose x and y are real numbers with x < y. Consider the open interval (x,y). Let f:(0,1)-->(x,y) such that f(t) = x + t(y-x). It is easy to check that this is a bijection. Therefore the cardinality of (x,y) is the same as the cardinality of (0,1), which is uncountable. Since there are only countably many rational numbers, the interval (x,y) can’t all be rational numbers. So there is an irrational number in this interval.

2011-01-27 13:53:53 補充：
a, b 是相異有理數. 不失一般性, 設 a


>>因為要證明的【任意a, b】，所以你的證明必須對【任意a,b】都成立，若a+(b-a)=√2 ，則您的證明【不完備】

2011-01-27 13:55:14 補充：
http://tw.knowledge.yahoo.com/question/question?qid=1011010204332

>>因為要證明的是對【任意a, b】都成立，所以你的證明必須對【任意a,b】都成立，若a+(b-a)=√2 ，則您的證明【不完備】

2011-02-21 13:18:24 補充：
最後一種是x,y都是無理數
我們假設x,y之間沒有任何無理數
若是x,y之間沒有有理數，那就代表x,y之間沒有任何實數，這顯然不可能
所以x,y之間必有一有理數，假設其為p
那麼 p 和 y 之間由第二種狀況可知必有一無理數存在
與假設x,y之間沒有任何無理數矛盾
>>>搞了半天，仍然無法【完全】以建構式的方法證明！！^__^

2011-02-21 13:27:14 補充：
因為x,y是任意數>>>妳要自稱用【建構】式的證明，你必須每一種狀況都用有辦法【建構】，顯然x與y都是無理述的狀況下，妳的證明並非【建構式】的證明。^__^害我花實踐看妳的證明結局是【最關鍵】的x, y都是無理述的狀況下仍然是以【證明存在】而不是以【找到存在】的方式處理。^__^