高為小考試題1

設 A 是 S 的子集. 假設 A 有 upper bound.
令 B={x in S, x 是 A 的 upper bound}.
則 A 的元素都是 B 的 lower bound.
因 S 有 g.l.b. property, 故存在 b 是 B 的 g.l.b.

令 y in A, 則 y 是 B 的 lower bound, 故 y<b 或 y=b.
即: b 是 A 的一個 upper bound, 故 b in B.

設 x 是 A 的一個 upper bound, 則 x in B.
但 b 是 B 的 g.l.b., 故 b<x 或 b=x.

b 是 A 的 upper bound, 又 < 或 = A 的任一 upper bound,
所以 b 是 A 的 l.u.b.