20題四選一選擇題猜中10題以上的機率?

圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AB00183634/o/101101230124813869354400.jpg


如上表，把恰好答對10、11、12.......、20題的機率加起來，就是答案，
約為1.3864%。

--------
剛好答對十題的機率
= (答對機率十次方) x (答錯機率十次方) x (任對十題方法數)
= (0.25)^10 x (0.75)^10 x [20任取10組合數]

算式是沒有錯，但是乘積算錯了，
(0.25)^10 x (0.75)^10 x [20任取10組合數]≒0.9922%才對

----------
再類推剛好答對十一至二十題必各小於0.9922%，
合計小於11*0.9922%=10.9142%

這也沒有錯，但是太粗略了，粗略到幾乎沒有意義，
因為剛好答對17、18、19、20題的機率不但比0.9922%小，而且小很多很多呢！
所以總機率雖然確實比11*0.9922%小，但實際值比11*0.9922%小很多很多，
用它來當估計值沒有意義。
台灣人口不到80億，這是真的，所以呢？

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出一題，答對機率1/4，答錯機率3/4。出二題，答對一題3/8，全錯9/16，全對1/16。
答對一題=(1*3+3*1)/4*4=6/16=3/8，
全錯=3*3/4*4=9/16。出三題，答對二題9/64，答對一題27/64，全錯27/64，全對1/64。
答對二題=(1*1*3+1*3*1+3*1*1)/4*4*4=9/64，
答對一題=(1*3*3+3*1*3+3*3*1)/4*4*4=27/64，
全錯=3*3*3/4*4*4=27/64。出20題，答對10題(含10)以上的機率：
取數為答錯數，即
( C20取 0 * 3的 0次方　(=1)
+ C20取 1 * 3的 1次方　(=60)
+ C20取 2 * 3的 2次方　(=1710)
+ C20取 3 * 3的 3次方　(=30780)
+ C20取 4 * 3的 4次方　(=392445)
+ C20取 5 * 3的 5次方　(=3767472)
+ C20取 6 * 3的 6次方　(=28256040)
+ C20取 7 * 3的 7次方　(=169536240)
+ C20取 8 * 3的 8次方　(=826489170)
+ C20取 9 * 3的 9次方　(=3305956680)
+ C20取10 * 3的10次方　(=10909657044) )
/ 4的20次方　(=1125899906842624)
= 15244087642 / 1125899906842624
= 7622043821 / 562949953421312
約 0.000013539469655654364438111433992668

2011-01-23 15:20:56 補充：
分母算錯，應乘1024．之前多除1024，報歉囉！
答應為7622043821 / 549755813888
約為0.013864416943761170841753482818604

P[X=10; n=20,p=0.25] = 0.009922
P[X>=10; n=20,p=0.25] = 0.013864

常態近似:
P[X≧10]≒P[Z>(9.5-5)/√[20(0.25)(0.75)]] = P[Z>2.3238] = 0.0101.

此例常態近似效果不佳, 雖然 np=5 滿足一些人宣稱的 "可以
用常態近似" 的門檻, 但相對誤差還是不小!

任意一題猜中機率為1/4
此為二項式分布 B(20,1/4)
猜中十題以上機率為 C(n,k) (1/4)^(n-k)(3/4)^k, k=10~20
當然也可以以常態分布求近似值 N(5,15,4), Z>=(10-5)/(√15)/2=2.582
這個機率是小於0.01的


2011-01-23 08:39:13 補充：
你問的是"猜中十題以上"
平均來說你應該可以猜中5題
但是若是十題以上則機率會小於0.01

2011-01-23 10:36:03 補充：
多謝老怪物指正
的確用常態分布的誤差不小
查表知P(X>=10)=1-0.9861=0.0139
應該是略大於1

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2011-01-23 09:43:07 補充：
我是先算 " 剛好答對十題 " 的機率
= (答對機率十次方) x (答錯機率十次方) x (任對十題方法數)
= (0.25)^10 x (0.75)^10 x [20任取10組合數]
= 1.04%

再類推剛好答對十一至二十題
必各小於 1.04%

合計小於 11.44%

不知有無錯誤?