關於 黎曼zeta函數

此一黎曼函數 ζ(2) = 1 + 1/2^2 + 1/3^2 + .... + = π^2/6 之証明方法有很多。以下列出一較易理解又不失嚴謹性之方法。

証明：

考慮 f(t) = Σ cos(nt)/n^2 ( n from 1 to infinity)

則 f(t) = - Σ sin(nt)/n ( n from 1 to infinity)

可以證明 f(t) 和 f'(t) 都是均勻收歛的。因此可以將 f'(t) 展開為無限級數

- Σ sin(nt)/n

= - Im (Σ e^(int)/n)

= Im [ln (1 - e^(it))]

= arg (1 - e^(it))

= (t - π)/2

根據微積分基本定理：

f(π) - f(0) = ∫ (t - π)/2 dt = -π^2/4

但事實上f(0)即是ζ(2)而f(π)是-ζ(2)/2﹐因此

-ζ(2)/2 - ζ(2) = -π^2/4

-3ζ(2)/2 = -π^2/4

ζ(2) = π^2/6

http://zh.wikipedia.org/zh-hk/%E8%B4%9D%E5%A1%9E%E5%B0%94%E9%97%AE%E9%A2%98