奧林匹克數學問題

答：　１００　公里

假定初始時汽車甲在東站﹐汽車乙在西站。兩輛汽車同時從東,西兩站相對開出,第一次在離東站60公里的地方相遇﹐因此推得汽車甲一定快過汽車乙。

然後它們繼續以原速度前進﹐明顯汽車甲會先到西站﹐然後轉頭。當乙到達東站時﹐汽車甲已經行了一段路程﹐所以當它們再次相遇後﹐該句子「在離中點30公里相遇」其實是指由東站數起30公里。

現在設那段路程是x公里。則第一次相遇時。汽車甲行了60公里﹐汽車乙行了x-60公里﹐在第二次相遇時。汽車甲共行了1.5x+30公里﹐汽車乙行了1.5x-30公里。

解題的關鍵是我們雖然不知道兩次相遇的時間﹐但速率比是可以形成為一只含x之函數。例如設第一次相遇時間是t﹐則速率比為(60/t)/[(x-60)/t]=60/(x-60)。若果以第二次相遇時間去算則有速率比為(1.5x+30)/(1.5x-30)。因為速率比是不變的﹐故得

60/(x-60)=(1.5x+30)/(1.5x-30)

60(1.5x-30)=(1.5x+30)(x-60)

90x-1800=1.5x^2-60x-1800

1.5x^2-150x=0

x=0 (捨去) 或 x=100

因此兩站相距100公里。

中點=mid-point?