怎樣證明 ∛3 是無理數?

∛3 是無理數可用反証法 (contra-positive) 證明, 如下:

首先∛3不是自然數。因此若它不是無理數﹐則必定是分數而且分母不是1﹐故可寫成 p/q

(p, q 均為整數, 而且為最簡形式, 即 p, q 互質﹐沒有共同因子)

∛3 = p/q

3 = (p^3) / (q^3)

3q^3 = p^3 .................... . (*)

因q 不整除p, 所以一定有3整除p^3 .即3整除p

因此, 可把 p 寫成3r

3 (q^2) = (3r)^3 = 27 (r^3)

q^2 = 9 (r^2) .................... (**)

因 r^2 是整數, 所以9整除q^2 .而9只有因子3﹐故3整除q

因此可把q寫成 3k

可是, 現在3同時整除p, q , 即3是p, q 的共同因子。這樣p, q 便不會是互質數

所以, 証明最初的假設有誤, 亦即∛3 不是有理數

2011-01-09 19:19:25 補充：
q^3 = 9 (r^3) .................... (**)

SORRY

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