對數定律之證明

不用把簡單的問題複雜化
因您所問的問題根本就是定義
定義是不用證明且不可以證明
只能理解定義的意涵
更不能夠用定理或性質來證明定義


圖片參考：http://imgcld.yimg.com/8/n/AC07032148/o/101012290797113869299270.jpg

我用括號( )代表底數令a^log(a)M=x
兩邊同取log(a)
log(a) a^log(a)M=log(a)x
→log(a)M*log(a)a=log(a)x
→log(a)M*1=log(a)x
→log(a)M=log(a)x
→M=x
→a^log(a)M=M
----------
或者，用另一種觀點：
令log(a)M=y
根據對數的定義，知a^y=M
把log(a)M=y代入a^y=M之中
得a^log(a)M=M

(1) log_a(M) = b <==> M=a^b=a^{log_a(M)}

(2) let f(x)=a^x, then f^{-1}(y)=log_a(y)
a^{log_a(M)} = f(f^{-1}(M)) = M.



2010-12-29 23:56:59 補充：
log_a(M) 如何定義的?
不就是: "若 M=a^b 則 log_a(M)=b"?

因此, log_a(M)=b 也就是 M=a^b.
但 a^b 也就是 a^{log_a(M)}.
那不就是說: M = a^{log_a(M)}?

2010-12-30 00:02:14 補充：
另外 (2) 的方法只是應用反函數的觀念.
y=a^x <==> x=log_a(y), 也就是說 f(x)=a^x 與 g(y)=log_a(y) 互為反函數,
即 g=f^{-1}.

反函數的基本性質 (也可當做反函數的定義), 即
f^{-1}(f(x)) = x for all x in the domain of f, and
f(f^{-1}(y)) = y for all y in the range of f (也是 f^{-1} 的 domain).

2010-12-30 00:02:33 補充：
所以 a^{log_a(M)} = a^{f^{-1}(M)} = f(log_a(M)) = f(f^{-1}(M)) = M.