超簡單曲線線性方程(急)!!!要求詳解

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所以點P的座標是 (開方(1 + 2開方6), 2) 或 (-開方(1 + 2開方6), 2)

10(a) E: x^2/2+y^2=1 => x^2+2y^2=1

代y=mx+c => x^2+2(mx+c)^2=1
(1+2m^2)x^2+4mcx+2c^2-2=0
判別式=0 =>
(4mc)^2-4(1+2m^2)(2c^2-2)=0
16m^2c^2-8(1+2m^2)(c^2-1)=0
2m^2c^2-(1+2m^2)(c^2-1)=0
c^2=2m^2+1

因此L:y=mx+c 或 y=mx+√(2m^2+1)

若直線過點(h,k)=>k=mh+√(2m^2+1)
(k-mh)^2=2m^2+1
(h^2-2)m^2-2hkm+(k^2-1)=0

(b) 代(h,k)=(√2,2) => -4√2m+3=0 => m=3/4√2
因此L:y=(3/4√2)x+5/4 或 L:4√2y=3x+5√2 是其中一條切線方程。

又因為 (√2,0) 是橢圓上的一點。所以x=√2 是另外一條過(√2,2)的切線。

(c)(i) 用(b) m1+m2=2hk/(h^2-2) ; m1m2=(k^2-1)/(h^2-2)
代k=2, m1+m2=4h/(h^2-2) ; m1m2=3/(h^2-2)

(ii) tan(π/4)=| (m1-m2)/(1+m1m2) |
| (m1-m2) | = | (1+m1m2) |
(m1-m2)^2 = (1+m1m2)^2
(m1+m2)^2 - 4m1m2 = (1+m1m2)^2
(m1+m2)^2 = 1+6m1m2+(m1m2)^2
[4h/(h^2-2)]^2 = 1+18/(h^2-2)+9/(h^2-2)^2
16h^2=(h^2-2)^2+18(h^2-2)+9
16h^2=h^4-2h^2+4+18h^2-36+9
h^4-2h^2+23=0
h^2=1+√24
h=√(1+2√6) 或 h=-√(1+2√6)
因此 P(√(1+2√6),2) 或 P(-√(1+2√6),2)