[求知]線代 ，空間與基底疑問

無比同意: 爛yahoo!!!!
我不是 "大師", 甚至連 "小師" 也算不上. 不過, 為了避免
題目被移除, 枉費 "高萌度數學娘" 給你的一些提示, 只好
來回一下了...剛才本來回了一大段, 結果一不小心, 咻的一下沒啦! orz

Q1
正如 "高萌度數學娘" 說的, W 只能 span 出 R^3 中的一個
平面, 例如 [2 2 2]' (行向量用列向量轉置以利輸入) 就無法
用 W 的線性組合表示. 因為 W 的線性組合 [x y z]' 必有
z=3x 的結果, 也就是說, span(W) 是由 z=3x 表示的平面.
Q2
如同 Q1 的 W 只有兩個向量不可能生成3維的空間.
(1,2,0) 與 (0,1,-1) 生成 (x,y,z) 其中 y=2x-z, 也就是生成
2x-y-z=0 這個平面.
例如 (1,0,1) 就不能用 (1,2,0) 與 (0,1,-1) 的線性組合表示.
Q3
{[1 0 2],[-1 1 -1],[0 1 1],[-1 2 0]} 把4個向量排成 4x3
的矩陣, 做基本列運算 (基本列運算也就是對這些列做特定的
線性組合), 最後僅餘兩個不全為 0 的列, 就表示原4個向量
只能取2個構成線性獨立集. 實際上任取2個都可以, 而其他2個
就能用被取為基底的線性組合表示. 例如
[0 1 1] = [1 0 2] + [-1 1 -1]
[-1 2 0] = [1 0 2] + 2[-1 1 -1]
又如你所列解答取中間兩個為基底, 則
[1 0 2] = (-1)[-1 1 -1]+[0 1 1]
[-1 2 0] = [-1 1 -1]+[0 1 1]
由於4個向量只能有2個線性獨立, 其餘2個是它們的線性組合,
結果:
(1) 原來4個向量的任意線性組合, 都能以基底的線性組合表示.
(2) 原來4個向量生成的子空間(in R^4), 只有2個維度. 因此,
R^4 中還有許多向量不能用原來4個向量的線性組合表示.
如 [1 0 0] 不能用 [-1 1 -1] 與 [0 1 1] 的線性組合表
示, 則由(1)可知它也不能用原4向量的線性組合表示.
Q4:
以 Q3 數據為例, 把前兩個向量相加, 取代其中任一個, 例如
{[0 1 1],[-1 1 -1],[0 1 1],[-1 2 0]}
={[-1 1 -1],[0 1 1],[-1 2 0]}
與
{[1 0 2],[-1 1 -1],[0 1 1],[-1 2 0]}
產生相同向量空間. 做其他基本列運算結果也一樣. 因此, 取
基本列運算後的結果構建基底完全是可以的.
Q5:
a_1 + a_2 + …+ a_n = 0 一個限制式縮減了一個維度, 因此
基底會有 n-1 個成員. 而最簡單的是例如:
{[1 -1 0...0], [0 1 -1...0],.....[0...1 -1]}
即 {e_1-e_2, e_2-e_3,...,e_{n-1}-e_n}
或 {[1 0 0 ... -1],[0 1 0 ... -1], ...,[0...1 -1]}, 即
{e_1-e_n,e_2-e_n,...,e_{n-1}-e_n}.

簡單說明一下好了，回答就留給其他大師XDDD(好懶= =)
"W不也可生成R3嗎?"
不可能，為什麼?
直觀而言R^3為一個"體"，你拿兩個向量最多生成一個"面"
或者說，用高中數學來表示就是:兩個不平行的向量可以決定一平面

Q2:同上

Q4:不可以，那個本質不一樣

Q5:這題可以先知道dim(W)=n-1
所以我只需要找n-1個向量，而去證明他們是線性獨立就可以

2010-12-10 21:19:51 補充：
為啥不行???
V=R^3
則S={e1，e2，e3，(1，2，3)}
W={e1，e2，e3}
但兩者均生成R^3