一題數學歸納法的問題

這是一個很有趣的問題﹐在一些代數學書上也會見到。問題的答案是顯而易見的﹐所以難在如何去解釋問題出在那裡。

解釋：因為該証明假定了在n=k+1時﹐人工可以做出包含有公共因子的兩個集合。例如該証明中的2,3,4...n。但事實上在n=2的情況下此事并不成立。例如考慮只有2匹馬A,B。則分出來的兩個集合只可能是{A}﹐{B}而我們沒有辦法去判定A和B毛色是否一樣。

2010-12-13 15:58:38 補充：
兩點補充：

1 這個問題和「證明」最初是由數學家George Pólya 想出來的。

2 表面上這個問題好像很簡單﹐但若果我們想起四色問題最初的「證明」也是犯了類似的錯誤。我們就不會對此等閒視之了。

..............= =

一言以蔽之，光是n=1就無法推到n=2了(1匹馬無法推論到2匹馬)，
所以後面就不必也不能進行了。

將n=1代入你所說的論證中：
假定任何1匹馬的集合中所有馬都是同色的(這當然是真的)
考慮有2匹馬的集合，分別標記為整數1,2
由歸納假設，標號為1的馬為同色的(這是真的，因為已經確定一匹馬的集合中所有馬都是同色的)
標號為2的馬也為同色的(這也是真的，因為已經確定一匹馬的集合中所有馬都是同色的)
由於這兩個集合有公共成員,即2,3,4,...,1號馬，所以所有的這2匹馬一定是同色的。
但2,3,4.....遞增怎麼增也跑不到1的，所以事實上是沒有公共成員。

1成立不能推到2成立。