工程數學題求解! - Ans.fyi 參考答案

工程數學題求解!

2010-11-10 7:30 am

題目:
用逆運算子法求y

(D^2 - 4)(D^2 - 25)y = sin(2x)

我上課的解法是

(D^2 - 25)y = (sin2x)/(D^2 - 4) = -(1/8)sin2x

為何D^2 會等於 -4 !? 這是我最想知道的

然後老師寫的答案是:

y = (-1/8)(sin2x)/(D^2-25) = (sin2x)/232

這邊我就看不懂了,能夠幫我解惑嗎?! 謝謝!!!

回答 (1)

Lotus_本願山彌陀講堂

2010-11-10 9:56 pm

✔ 最佳答案

設線性ODE為L(D)y=e^(ax), 且L(a)不為0
反微分算子法是求特殊解的方法之一,
利用未定係數法: 設特殊解yp(x)=k e^(ax), 代入L(D)y=e^(ax),則
L(a) k e^(ax)=e^(ax), 得k=1/L(a),
故反微分算子法,記為L(D)y=e^(ax), yp=e^(ax)/L(D)= e^(ax)/L(a)

本題sin(2x)為e^(2ix)的虛部
(D^2-4)y=e^(2ix), yp=e^(2ix)/(D^2-4)=e^(2ix)/[(2i)^2-4]= -e^(2ix)/8
(D^2-25)y= [-e^(2ix)/8], yp=[-e^(2ix)/8]/(D^2-25)=[-e^(2ix)/8]/[(2i)^2-25]
=[-e^(2ix)/8]/(-4-25)= e^(2ix)/232
取虛部得 sin(2x)/232

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