證明 :
a) 任何正整數均可表為有限個相異單位分數之和。
(例如 : 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/24 + 1/48)
b) 利用 a) 之結果,證明調和級數 1 + 1/2 + 1/3 + 1/4 + ...... 之值無窮。
~~數論習題(Ⅱ)~~
2010-11-03 12:39 am
回答 (2)
2010-11-06 8:21 am
✔ 最佳答案
===========================================================圖片參考：http://img841.imageshack.us/img841/854/37802999.png
圖片參考：http://img574.imageshack.us/img574/9907/19876480.png
圖片參考：http://img810.imageshack.us/img810/6876/26842117.png
2010-11-06 00:21:43 補充：
http://img841.imageshack.us/img841/854/37802999.png
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2010-11-11 11:11:21 補充：
這個過程不能只停留在最小分母大於6即可,更要考慮較大的份母有沒有重複,這相對1=1/2+1/3+1/6一分為三的做法會小了一些項,因為是一分為二,所以在做2的時候,看來比較輕鬆,但做3時也會變得很吃力,也無法在過程中找到有限個數的證據.
2010-11-09 6:32 am
由於 1/n = 1/n(n+1) + 1/(n+1)
從1=1/2+1/3+1/6 出發，利用上式可以不斷構造出1的新表達式，
由於分母是遞增的，
取第k個表達式使其最小分母大於k-1個表達式之最大分母即可。
如：
從上式得1=1/3+1/6+1/4+1/12+1/7+1/42，其中3、6重覆了，繼續往下做直到
最小的分母大於6即可(也就是再做4次)，將這1的表達式與1=1/2+1/3+1/6相加
即得2的表達式。之後以此類推，步驟顯然是有限的。
2010-11-15 13:18:00 補充：
TO 自由自在：
有限性不難證明，不過重覆性確如您所言，是有問題的。
從1=1/2+1/3+1/6 出發，利用上式可以不斷構造出1的新表達式，
由於分母是遞增的，
取第k個表達式使其最小分母大於k-1個表達式之最大分母即可。
如：
從上式得1=1/3+1/6+1/4+1/12+1/7+1/42，其中3、6重覆了，繼續往下做直到
最小的分母大於6即可(也就是再做4次)，將這1的表達式與1=1/2+1/3+1/6相加
即得2的表達式。之後以此類推，步驟顯然是有限的。
2010-11-15 13:18:00 補充：
TO 自由自在：
有限性不難證明，不過重覆性確如您所言，是有問題的。
收錄日期: 2021-04-12 00:03:25
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